Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98440 / 103048
↖ ↑ ↗
← S 71.194838°
E 90.373535°		 ← 98.43 m → S 71.194838°
E 90.376282°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 71.195724°
E 90.373535°		 ← 98.43 m →
9 689 m²		 S 71.195724°
E 90.376282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751041412353516 y=0.786197662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751041412353516 × 217)
    floor (0.751041412353516 × 131072)
    floor (98440.5)     		tx = 98440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786197662353516 × 217)
    floor (0.786197662353516 × 131072)
    floor (103048.5)     		ty = 103048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98440 / 103048 ti = "17/98440/103048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98440/103048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98440 ÷ 217
    98440 ÷ 131072     		x = 0.75103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103048 ÷ 217
    103048 ÷ 131072     		y = 0.78619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    0.5020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57731575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.5723876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79820897854755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57731575} λ = 1.57731575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79820897854755))-π/2
    2×atan(0.16559520735421)-π/2
    2×0.164105995673645-π/2
    0.328211991347291-1.57079632675     		φ = -1.24258434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57731575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24258434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.194838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98440 KachelY 103048 1.57731575 -1.24258434 90.373535 -71.194838
    Oben rechts KachelX + 1 98441 KachelY 103048 1.57736368 -1.24258434 90.376282 -71.194838
    Unten links KachelX 98440 KachelY + 1 103049 1.57731575 -1.24259979 90.373535 -71.195724
    Unten rechts KachelX + 1 98441 KachelY + 1 103049 1.57736368 -1.24259979 90.376282 -71.195724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24258434--1.24259979) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24258434--1.24259979) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57731575-1.57736368) × cos(-1.24258434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322350975112136 × 6371000     		do = 98.4337481327816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57731575-1.57736368) × cos(-1.24259979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3223363497912 × 6371000     		du = 98.4292821150912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24258434)-sin(-1.24259979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322350975112136-0.3223363497912)×R²
    abs(1.57736368-1.57731575)×1.46253209361569e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46253209361569e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46253209361569e-05×40589641000000     		ar = 9688.80597545572m²