Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 984 / 604
↖ ↑ ↗
← N 77.542096°
W 93.515625°		 ← 2 108.25 m → N 77.542096°
W 93.427735°		 →
↑
2 109.82 m
↓
↑
2 109.82 m
↓
N 77.523122°
W 93.515625°		 ← 2 111.41 m →
4 451 364 m²		 N 77.523122°
W 93.427735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2403564453125 y=0.1475830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2403564453125 × 212)
    floor (0.2403564453125 × 4096)
    floor (984.5)     		tx = 984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1475830078125 × 212)
    floor (0.1475830078125 × 4096)
    floor (604.5)     		ty = 604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 984 / 604 ti = "12/984/604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/984/604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 984 ÷ 212
    984 ÷ 4096     		x = 0.240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 604 ÷ 212
    604 ÷ 4096     		y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240234375 × 2 - 1) × π
    -0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63215556} λ = -1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675     		φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 984 KachelY 604 -1.63215556 1.35336488 -93.515625 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 985 KachelY 604 -1.63062158 1.35336488 -93.427735 77.542096
    Unten links KachelX 984 KachelY + 1 605 -1.63215556 1.35303372 -93.515625 77.523122
    Unten rechts KachelX + 1 985 KachelY + 1 605 -1.63062158 1.35303372 -93.427735 77.523122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35336488-1.35303372) × R
    0.000331159999999997 × 6371000     		dl = 2109.82035999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35336488-1.35303372) × R
    0.000331159999999997 × 6371000     		dr = 2109.82035999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63215556--1.63062158) × cos(1.35336488) × R
    0.00153398000000005 × 0.215722261434972 × 6371000     		do = 2108.2507660113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63215556--1.63062158) × cos(1.35303372) × R
    0.00153398000000005 × 0.21604561235987 × 6371000     		du = 2111.41087026096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35303372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215722261434972-0.21604561235987)×R²
    abs(-1.63062158--1.63215556)×0.000323350924898436×R²
    0.00153398000000005×0.000323350924898436×6371000²
    0.00153398000000005×0.000323350924898436×40589641000000     		ar = 4451364.0569393m²