Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 984 / 490
↖ ↑ ↗
← N 68.007571°
W  7.031250°		 ← 7 319.66 m → N 68.007571°
W  6.855469°		 →
↑
7 330.09 m
↓
↑
7 330.09 m
↓
N 67.941650°
W  7.031250°		 ← 7 340.50 m →
53 730 149 m²		 N 67.941650°
W  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480712890625 y=0.239501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480712890625 × 211)
    floor (0.480712890625 × 2048)
    floor (984.5)     		tx = 984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239501953125 × 211)
    floor (0.239501953125 × 2048)
    floor (490.5)     		ty = 490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 984 / 490 ti = "11/984/490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/984/490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 984 ÷ 211
    984 ÷ 2048     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 490 ÷ 211
    490 ÷ 2048     		y = 0.2392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2392578125 × 2 - 1) × π
    0.521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63829148141504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63829148141504))-π/2
    2×atan(5.1463693290933)-π/2
    2×1.37887617866302-π/2
    2.75775235732603-1.57079632675     		φ = 1.18695603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18695603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.007571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 984 KachelY 490 -0.12271846 1.18695603 -7.031250 68.007571
    Oben rechts KachelX + 1 985 KachelY 490 -0.11965050 1.18695603 -6.855469 68.007571
    Unten links KachelX 984 KachelY + 1 491 -0.12271846 1.18580549 -7.031250 67.941650
    Unten rechts KachelX + 1 985 KachelY + 1 491 -0.11965050 1.18580549 -6.855469 67.941650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18695603-1.18580549) × R
    0.00115054000000003 × 6371000     		dl = 7330.09034000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18695603-1.18580549) × R
    0.00115054000000003 × 6371000     		dr = 7330.09034000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.11965050) × cos(1.18695603) × R
    0.00306795999999999 × 0.374484073328689 × 6371000     		do = 7319.65564613002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.11965050) × cos(1.18580549) × R
    0.00306795999999999 × 0.375550644287607 × 6371000     		du = 7340.50281346625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18695603)-sin(1.18580549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374484073328689-0.375550644287607)×R²
    abs(-0.11965050--0.12271846)×0.00106657095891732×R²
    0.00306795999999999×0.00106657095891732×6371000²
    0.00306795999999999×0.00106657095891732×40589641000000     		ar = 53730148.8808603m²