Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98399 / 101025
↖ ↑ ↗
← S 69.319290°
E 90.260925°		 ← 107.86 m → S 69.319290°
E 90.263672°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
S 69.320260°
E 90.260925°		 ← 107.86 m →
11 634 m²		 S 69.320260°
E 90.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750728607177734 y=0.770763397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750728607177734 × 217)
    floor (0.750728607177734 × 131072)
    floor (98399.5)     		tx = 98399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770763397216797 × 217)
    floor (0.770763397216797 × 131072)
    floor (101025.5)     		ty = 101025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98399 / 101025 ti = "17/98399/101025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98399/101025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98399 ÷ 217
    98399 ÷ 131072     		x = 0.750724792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101025 ÷ 217
    101025 ÷ 131072     		y = 0.770759582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750724792480469 × 2 - 1) × π
    0.501449584960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.57535033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770759582519531 × 2 - 1) × π
    -0.541519165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.70123263061617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57535033} λ = 1.57535033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70123263061617))-π/2
    2×atan(0.182458481473597)-π/2
    2×0.180473239939354-π/2
    0.360946479878707-1.57079632675     		φ = -1.20984985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57535033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.260925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20984985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.319290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98399 KachelY 101025 1.57535033 -1.20984985 90.260925 -69.319290
    Oben rechts KachelX + 1 98400 KachelY 101025 1.57539827 -1.20984985 90.263672 -69.319290
    Unten links KachelX 98399 KachelY + 1 101026 1.57535033 -1.20986678 90.260925 -69.320260
    Unten rechts KachelX + 1 98400 KachelY + 1 101026 1.57539827 -1.20986678 90.263672 -69.320260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20984985--1.20986678) × R
    1.69300000001371e-05 × 6371000     		dl = 107.861030000874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20984985--1.20986678) × R
    1.69300000001371e-05 × 6371000     		dr = 107.861030000874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57535033-1.57539827) × cos(-1.20984985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353159879982021 × 6371000     		do = 107.864117681749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57535033-1.57539827) × cos(-1.20986678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353144040850071 × 6371000     		du = 107.859280003152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20984985)-sin(-1.20986678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353159879982021-0.353144040850071)×R²
    abs(1.57539827-1.57535033)×1.58391319500795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58391319500795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58391319500795e-05×40589641000000     		ar = 11634.0739350944m²