Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98336 / 102944
↖ ↑ ↗
← S 71.102543°
E 90.087891°		 ← 98.90 m → S 71.102543°
E 90.090637°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.103432°
E 90.087891°		 ← 98.89 m →
9 779 m²		 S 71.103432°
E 90.090637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750247955322266 y=0.785404205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750247955322266 × 217)
    floor (0.750247955322266 × 131072)
    floor (98336.5)     		tx = 98336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785404205322266 × 217)
    floor (0.785404205322266 × 131072)
    floor (102944.5)     		ty = 102944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98336 / 102944 ti = "17/98336/102944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98336/102944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98336 ÷ 217
    98336 ÷ 131072     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102944 ÷ 217
    102944 ÷ 131072     		y = 0.785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79322354098706))-π/2
    2×atan(0.1664228332452)-π/2
    2×0.16491142470898-π/2
    0.329822849417961-1.57079632675     		φ = -1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98336 KachelY 102944 1.57233031 -1.24097348 90.087891 -71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 98337 KachelY 102944 1.57237824 -1.24097348 90.090637 -71.102543
    Unten links KachelX 98336 KachelY + 1 102945 1.57233031 -1.24098900 90.087891 -71.103432
    Unten rechts KachelX + 1 98337 KachelY + 1 102945 1.57237824 -1.24098900 90.090637 -71.103432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24097348--1.24098900) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24097348--1.24098900) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57237824) × cos(-1.24097348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 98.8992584292641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57237824) × cos(-1.24098900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323860745370786 × 6371000     		du = 98.8947746437969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24097348)-sin(-1.24098900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.323860745370786)×R²
    abs(1.57237824-1.57233031)×1.46835068760565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46835068760565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46835068760565e-05×40589641000000     		ar = 9778.73128932802m²