Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9833 / 10489
↖ ↑ ↗
← S 44.980342°
E 36.057129°		 ← 1 728.21 m → S 44.980342°
E 36.079101°		 →
↑
1 728.01 m
↓
↑
1 728.01 m
↓
S 44.995883°
E 36.057129°		 ← 1 727.74 m →
2 985 947 m²		 S 44.995883°
E 36.079101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600189208984375 y=0.640228271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600189208984375 × 214)
    floor (0.600189208984375 × 16384)
    floor (9833.5)     		tx = 9833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640228271484375 × 214)
    floor (0.640228271484375 × 16384)
    floor (10489.5)     		ty = 10489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9833 / 10489 ti = "14/9833/10489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9833/10489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9833 ÷ 214
    9833 ÷ 16384     		x = 0.60015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10489 ÷ 214
    10489 ÷ 16384     		y = 0.64019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60015869140625 × 2 - 1) × π
    0.2003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62931562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.2803955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.880888467418152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62931562} λ = 0.62931562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880888467418152))-π/2
    2×atan(0.41441455423997)-π/2
    2×0.392870626796267-π/2
    0.785741253592533-1.57079632675     		φ = -0.78505507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62931562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.057129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78505507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.980342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9833 KachelY 10489 0.62931562 -0.78505507 36.057129 -44.980342
    Oben rechts KachelX + 1 9834 KachelY 10489 0.62969911 -0.78505507 36.079101 -44.980342
    Unten links KachelX 9833 KachelY + 1 10490 0.62931562 -0.78532630 36.057129 -44.995883
    Unten rechts KachelX + 1 9834 KachelY + 1 10490 0.62969911 -0.78532630 36.079101 -44.995883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78505507--0.78532630) × R
    0.000271230000000067 × 6371000     		dl = 1728.00633000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78505507--0.78532630) × R
    0.000271230000000067 × 6371000     		dr = 1728.00633000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62931562-0.62969911) × cos(-0.78505507) × R
    0.000383490000000042 × 0.707349343231846 × 6371000     		do = 1728.20637708102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62931562-0.62969911) × cos(-0.78532630) × R
    0.000383490000000042 × 0.707157594456286 × 6371000     		du = 1727.73789363661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78505507)-sin(-0.78532630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707349343231846-0.707157594456286)×R²
    abs(0.62969911-0.62931562)×0.000191748775560163×R²
    0.000383490000000042×0.000191748775560163×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191748775560163×40589641000000     		ar = 2985946.80627068m²