Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9829 / 10349
↖ ↑ ↗
← S 42.763146°
E 35.969238°		 ← 1 793.73 m → S 42.763146°
E 35.991211°		 →
↑
1 793.56 m
↓
↑
1 793.56 m
↓
S 42.779276°
E 35.969238°		 ← 1 793.26 m →
3 216 745 m²		 S 42.779276°
E 35.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599945068359375 y=0.631683349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599945068359375 × 214)
    floor (0.599945068359375 × 16384)
    floor (9829.5)     		tx = 9829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631683349609375 × 214)
    floor (0.631683349609375 × 16384)
    floor (10349.5)     		ty = 10349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9829 / 10349 ti = "14/9829/10349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9829/10349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9829 ÷ 214
    9829 ÷ 16384     		x = 0.59991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10349 ÷ 214
    10349 ÷ 16384     		y = 0.63165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59991455078125 × 2 - 1) × π
    0.1998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62778164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62778164} λ = 0.62778164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827199139843689))-π/2
    2×atan(0.437272311355291)-π/2
    2×0.412219316462167-π/2
    0.824438632924333-1.57079632675     		φ = -0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62778164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9829 KachelY 10349 0.62778164 -0.74635769 35.969238 -42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 9830 KachelY 10349 0.62816513 -0.74635769 35.991211 -42.763146
    Unten links KachelX 9829 KachelY + 1 10350 0.62778164 -0.74663921 35.969238 -42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 9830 KachelY + 1 10350 0.62816513 -0.74663921 35.991211 -42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74635769--0.74663921) × R
    0.000281520000000035 × 6371000     		dl = 1793.56392000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74635769--0.74663921) × R
    0.000281520000000035 × 6371000     		dr = 1793.56392000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62778164-0.62816513) × cos(-0.74635769) × R
    0.000383489999999931 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 1793.72706098526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62778164-0.62816513) × cos(-0.74663921) × R
    0.000383489999999931 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 1793.25998550285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74635769)-sin(-0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.733975577113781)×R²
    abs(0.62816513-0.62778164)×0.000191172501214698×R²
    0.000383489999999931×0.000191172501214698×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191172501214698×40589641000000     		ar = 3216745.29528965m²