Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9828 / 10341
↖ ↑ ↗
← S 42.633959°
E 35.947265°		 ← 1 797.51 m → S 42.633959°
E 35.969238°		 →
↑
1 797.26 m
↓
↑
1 797.26 m
↓
S 42.650122°
E 35.947265°		 ← 1 797.04 m →
3 230 171 m²		 S 42.650122°
E 35.969238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599884033203125 y=0.631195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599884033203125 × 214)
    floor (0.599884033203125 × 16384)
    floor (9828.5)     		tx = 9828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631195068359375 × 214)
    floor (0.631195068359375 × 16384)
    floor (10341.5)     		ty = 10341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9828 / 10341 ti = "14/9828/10341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9828/10341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9828 ÷ 214
    9828 ÷ 16384     		x = 0.599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10341 ÷ 214
    10341 ÷ 16384     		y = 0.63116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599853515625 × 2 - 1) × π
    0.19970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62739814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.2623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.824131178268005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62739814} λ = 0.62739814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824131178268005))-π/2
    2×atan(0.43861590599914)-π/2
    2×0.413346686971112-π/2
    0.826693373942224-1.57079632675     		φ = -0.74410295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62739814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.947265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74410295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.633959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9828 KachelY 10341 0.62739814 -0.74410295 35.947265 -42.633959
    Oben rechts KachelX + 1 9829 KachelY 10341 0.62778164 -0.74410295 35.969238 -42.633959
    Unten links KachelX 9828 KachelY + 1 10342 0.62739814 -0.74438505 35.947265 -42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 9829 KachelY + 1 10342 0.62778164 -0.74438505 35.969238 -42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74410295--0.74438505) × R
    0.000282099999999952 × 6371000     		dl = 1797.25909999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74410295--0.74438505) × R
    0.000282099999999952 × 6371000     		dr = 1797.25909999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62739814-0.62778164) × cos(-0.74410295) × R
    0.000383499999999981 × 0.735695781150223 × 6371000     		do = 1797.50968462496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62739814-0.62778164) × cos(-0.74438505) × R
    0.000383499999999981 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 1797.04277649308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74410295)-sin(-0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735695781150223-0.7355046821282)×R²
    abs(0.62778164-0.62739814)×0.0001910990220233×R²
    0.000383499999999981×0.0001910990220233×6371000²
    0.000383499999999981×0.0001910990220233×40589641000000     		ar = 3230171.08200594m²