Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9826 / 10339
↖ ↑ ↗
← S 42.601620°
E 35.903320°		 ← 1 798.44 m → S 42.601620°
E 35.925293°		 →
↑
1 798.21 m
↓
↑
1 798.21 m
↓
S 42.617791°
E 35.903320°		 ← 1 797.98 m →
3 233 568 m²		 S 42.617791°
E 35.925293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599761962890625 y=0.631072998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599761962890625 × 214)
    floor (0.599761962890625 × 16384)
    floor (9826.5)     		tx = 9826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631072998046875 × 214)
    floor (0.631072998046875 × 16384)
    floor (10339.5)     		ty = 10339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9826 / 10339 ti = "14/9826/10339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9826/10339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9826 ÷ 214
    9826 ÷ 16384     		x = 0.5997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10339 ÷ 214
    10339 ÷ 16384     		y = 0.63104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5997314453125 × 2 - 1) × π
    0.199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62663115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.2620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823364187874084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62663115} λ = 0.62663115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823364187874084))-π/2
    2×atan(0.438952449231878)-π/2
    2×0.413628896050206-π/2
    0.827257792100413-1.57079632675     		φ = -0.74353853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62663115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.903320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74353853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.601620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9826 KachelY 10339 0.62663115 -0.74353853 35.903320 -42.601620
    Oben rechts KachelX + 1 9827 KachelY 10339 0.62701465 -0.74353853 35.925293 -42.601620
    Unten links KachelX 9826 KachelY + 1 10340 0.62663115 -0.74382078 35.903320 -42.617791
    Unten rechts KachelX + 1 9827 KachelY + 1 10340 0.62701465 -0.74382078 35.925293 -42.617791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74353853--0.74382078) × R
    0.000282249999999928 × 6371000     		dl = 1798.21474999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74353853--0.74382078) × R
    0.000282249999999928 × 6371000     		dr = 1798.21474999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62663115-0.62701465) × cos(-0.74353853) × R
    0.000383499999999981 × 0.736077952455461 × 6371000     		do = 1798.44343555836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62663115-0.62701465) × cos(-0.74382078) × R
    0.000383499999999981 × 0.735886869022593 × 6371000     		du = 1797.97656551513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74353853)-sin(-0.74382078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736077952455461-0.735886869022593)×R²
    abs(0.62701465-0.62663115)×0.000191083432868666×R²
    0.000383499999999981×0.000191083432868666×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191083432868666×40589641000000     		ar = 3233567.76802938m²