Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9825 / 10340
↖ ↑ ↗
← S 42.617791°
E 35.881348°		 ← 1 797.93 m → S 42.617791°
E 35.903320°		 →
↑
1 797.71 m
↓
↑
1 797.71 m
↓
S 42.633959°
E 35.881348°		 ← 1 797.46 m →
3 231 728 m²		 S 42.633959°
E 35.903320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599700927734375 y=0.631134033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599700927734375 × 214)
    floor (0.599700927734375 × 16384)
    floor (9825.5)     		tx = 9825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631134033203125 × 214)
    floor (0.631134033203125 × 16384)
    floor (10340.5)     		ty = 10340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9825 / 10340 ti = "14/9825/10340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9825/10340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9825 ÷ 214
    9825 ÷ 16384     		x = 0.59967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10340 ÷ 214
    10340 ÷ 16384     		y = 0.631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59967041015625 × 2 - 1) × π
    0.1993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62624766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.26220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823747683071045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62624766} λ = 0.62624766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823747683071045))-π/2
    2×atan(0.438784145349831)-π/2
    2×0.413487773190611-π/2
    0.826975546381222-1.57079632675     		φ = -0.74382078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62624766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.881348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74382078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.617791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9825 KachelY 10340 0.62624766 -0.74382078 35.881348 -42.617791
    Oben rechts KachelX + 1 9826 KachelY 10340 0.62663115 -0.74382078 35.903320 -42.617791
    Unten links KachelX 9825 KachelY + 1 10341 0.62624766 -0.74410295 35.881348 -42.633959
    Unten rechts KachelX + 1 9826 KachelY + 1 10341 0.62663115 -0.74410295 35.903320 -42.633959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74382078--0.74410295) × R
    0.000282170000000082 × 6371000     		dl = 1797.70507000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74382078--0.74410295) × R
    0.000282170000000082 × 6371000     		dr = 1797.70507000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62624766-0.62663115) × cos(-0.74382078) × R
    0.000383490000000042 × 0.735886869022593 × 6371000     		do = 1797.92968216299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62624766-0.62663115) × cos(-0.74410295) × R
    0.000383490000000042 × 0.735695781150223 × 6371000     		du = 1797.46281344703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74382078)-sin(-0.74410295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735886869022593-0.735695781150223)×R²
    abs(0.62663115-0.62624766)×0.000191087872369322×R²
    0.000383490000000042×0.000191087872369322×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191087872369322×40589641000000     		ar = 3231727.68044293m²