Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98224 / 102896
↖ ↑ ↗
← S 71.059798°
E 89.780273°		 ← 99.14 m → S 71.059798°
E 89.783020°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
S 71.060689°
E 89.780273°		 ← 99.13 m →
9 827 m²		 S 71.060689°
E 89.783020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749393463134766 y=0.785037994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749393463134766 × 217)
    floor (0.749393463134766 × 131072)
    floor (98224.5)     		tx = 98224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785037994384766 × 217)
    floor (0.785037994384766 × 131072)
    floor (102896.5)     		ty = 102896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98224 / 102896 ti = "17/98224/102896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98224/102896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98224 ÷ 217
    98224 ÷ 131072     		x = 0.7493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102896 ÷ 217
    102896 ÷ 131072     		y = 0.7850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7493896484375 × 2 - 1) × π
    0.498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56696137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56696137} λ = 1.56696137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7909225698053))-π/2
    2×atan(0.166806208286799)-π/2
    2×0.165284444566597-π/2
    0.330568889133193-1.57079632675     		φ = -1.24022744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56696137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24022744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.059798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98224 KachelY 102896 1.56696137 -1.24022744 89.780273 -71.059798
    Oben rechts KachelX + 1 98225 KachelY 102896 1.56700931 -1.24022744 89.783020 -71.059798
    Unten links KachelX 98224 KachelY + 1 102897 1.56696137 -1.24024300 89.780273 -71.060689
    Unten rechts KachelX + 1 98225 KachelY + 1 102897 1.56700931 -1.24024300 89.783020 -71.060689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24022744--1.24024300) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24022744--1.24024300) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56696137-1.56700931) × cos(-1.24022744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32458116692711 × 6371000     		do = 99.1354430987111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56696137-1.56700931) × cos(-1.24024300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324566449339724 × 6371000     		du = 99.1309479686927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24022744)-sin(-1.24024300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32458116692711-0.324566449339724)×R²
    abs(1.56700931-1.56696137)×1.47175873860816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47175873860816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47175873860816e-05×40589641000000     		ar = 9827.34728108209m²