Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9821 / 10491
↖ ↑ ↗
← S 45.011419°
E 35.793457°		 ← 1 727.27 m → S 45.011419°
E 35.815430°		 →
↑
1 727.05 m
↓
↑
1 727.05 m
↓
S 45.026951°
E 35.793457°		 ← 1 726.80 m →
2 982 677 m²		 S 45.026951°
E 35.815430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599456787109375 y=0.640350341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599456787109375 × 214)
    floor (0.599456787109375 × 16384)
    floor (9821.5)     		tx = 9821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640350341796875 × 214)
    floor (0.640350341796875 × 16384)
    floor (10491.5)     		ty = 10491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9821 / 10491 ti = "14/9821/10491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9821/10491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9821 ÷ 214
    9821 ÷ 16384     		x = 0.59942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10491 ÷ 214
    10491 ÷ 16384     		y = 0.64031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59942626953125 × 2 - 1) × π
    0.1988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62471368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.2806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.881655457812073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62471368} λ = 0.62471368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881655457812073))-π/2
    2×atan(0.414096824121317)-π/2
    2×0.392599435255709-π/2
    0.785198870511418-1.57079632675     		φ = -0.78559746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62471368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.793457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78559746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.011419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9821 KachelY 10491 0.62471368 -0.78559746 35.793457 -45.011419
    Oben rechts KachelX + 1 9822 KachelY 10491 0.62509717 -0.78559746 35.815430 -45.011419
    Unten links KachelX 9821 KachelY + 1 10492 0.62471368 -0.78586854 35.793457 -45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 9822 KachelY + 1 10492 0.62509717 -0.78586854 35.815430 -45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78559746--0.78586854) × R
    0.000271079999999979 × 6371000     		dl = 1727.05067999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78559746--0.78586854) × R
    0.000271079999999979 × 6371000     		dr = 1727.05067999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62471368-0.62509717) × cos(-0.78559746) × R
    0.000383489999999931 × 0.706965843165514 × 6371000     		do = 1727.26940404649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62471368-0.62509717) × cos(-0.78586854) × R
    0.000383489999999931 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 1726.80092572875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78559746)-sin(-0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706965843165514-0.706774096488284)×R²
    abs(0.62509717-0.62471368)×0.000191746677229543×R²
    0.000383489999999931×0.000191746677229543×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191746677229543×40589641000000     		ar = 2982677.27416948m²