Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98208 / 102880
↖ ↑ ↗
← S 71.045529°
E 89.736328°		 ← 99.21 m → S 71.045529°
E 89.739075°		 →
↑
99.20 m
↓
↑
99.20 m
↓
S 71.046421°
E 89.736328°		 ← 99.20 m →
9 841 m²		 S 71.046421°
E 89.739075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749271392822266 y=0.784915924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749271392822266 × 217)
    floor (0.749271392822266 × 131072)
    floor (98208.5)     		tx = 98208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784915924072266 × 217)
    floor (0.784915924072266 × 131072)
    floor (102880.5)     		ty = 102880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98208 / 102880 ti = "17/98208/102880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98208/102880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98208 ÷ 217
    98208 ÷ 131072     		x = 0.749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102880 ÷ 217
    102880 ÷ 131072     		y = 0.784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    0.49853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56619438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56619438} λ = 1.56619438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79015557941138))-π/2
    2×atan(0.166934196122647)-π/2
    2×0.165408965046793-π/2
    0.330817930093586-1.57079632675     		φ = -1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56619438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98208 KachelY 102880 1.56619438 -1.23997840 89.736328 -71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 98209 KachelY 102880 1.56624232 -1.23997840 89.739075 -71.045529
    Unten links KachelX 98208 KachelY + 1 102881 1.56619438 -1.23999397 89.736328 -71.046421
    Unten rechts KachelX + 1 98209 KachelY + 1 102881 1.56624232 -1.23999397 89.739075 -71.046421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23997840--1.23999397) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dl = 99.1964699997756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23997840--1.23999397) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dr = 99.1964699997756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56619438-1.56624232) × cos(-1.23997840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 99.2073850231594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56619438-1.56624232) × cos(-1.23999397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324801987510388 × 6371000     		du = 99.2028873887659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23997840)-sin(-1.23999397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324801987510388)×R²
    abs(1.56624232-1.56619438)×1.47257870063422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47257870063422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47257870063422e-05×40589641000000     		ar = 9840.79931760217m²