Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 982 / 617
↖ ↑ ↗
← N 57.984808°
W  7.382813°		 ← 10.362 km → N 57.984808°
W  7.207031°		 →
↑
10.376 km
↓
↑
10.376 km
↓
N 57.891497°
W  7.382813°		 ← 10.389 km →
107.655 km²		 N 57.891497°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479736328125 y=0.301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479736328125 × 211)
    floor (0.479736328125 × 2048)
    floor (982.5)     		tx = 982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301513671875 × 211)
    floor (0.301513671875 × 2048)
    floor (617.5)     		ty = 617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 982 / 617 ti = "11/982/617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/982/617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 982 ÷ 211
    982 ÷ 2048     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 617 ÷ 211
    617 ÷ 2048     		y = 0.30126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30126953125 × 2 - 1) × π
    0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24866036130322))-π/2
    2×atan(3.48567028951321)-π/2
    2×1.29141107142426-π/2
    2.58282214284852-1.57079632675     		φ = 1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 982 KachelY 617 -0.12885439 1.01202582 -7.382813 57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 983 KachelY 617 -0.12578642 1.01202582 -7.207031 57.984808
    Unten links KachelX 982 KachelY + 1 618 -0.12885439 1.01039724 -7.382813 57.891497
    Unten rechts KachelX + 1 983 KachelY + 1 618 -0.12578642 1.01039724 -7.207031 57.891497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01202582-1.01039724) × R
    0.00162857999999999 × 6371000     		dl = 10375.6831799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01202582-1.01039724) × R
    0.00162857999999999 × 6371000     		dr = 10375.6831799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12578642) × cos(1.01202582) × R
    0.00306797 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 10362.2161699034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12578642) × cos(1.01039724) × R
    0.00306797 × 0.531524283937538 × 6371000     		du = 10389.1932511435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01202582)-sin(1.01039724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.531524283937538)×R²
    abs(-0.12578642--0.12885439)×0.00138018164088582×R²
    0.00306797×0.00138018164088582×6371000²
    0.00306797×0.00138018164088582×40589641000000     		ar = 107655048.639842m²