Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 982 / 491
↖ ↑ ↗
← N 67.941650°
W  7.382813°		 ← 7 340.53 m → N 67.941650°
W  7.207031°		 →
↑
7 350.92 m
↓
↑
7 350.92 m
↓
N 67.875541°
W  7.382813°		 ← 7 361.42 m →
54 036 462 m²		 N 67.875541°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479736328125 y=0.239990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479736328125 × 211)
    floor (0.479736328125 × 2048)
    floor (982.5)     		tx = 982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239990234375 × 211)
    floor (0.239990234375 × 2048)
    floor (491.5)     		ty = 491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 982 / 491 ti = "11/982/491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/982/491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 982 ÷ 211
    982 ÷ 2048     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 491 ÷ 211
    491 ÷ 2048     		y = 0.23974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23974609375 × 2 - 1) × π
    0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63522351983936))-π/2
    2×atan(5.13060466080091)-π/2
    2×1.37830090956584-π/2
    2.75660181913168-1.57079632675     		φ = 1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 982 KachelY 491 -0.12885439 1.18580549 -7.382813 67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 983 KachelY 491 -0.12578642 1.18580549 -7.207031 67.941650
    Unten links KachelX 982 KachelY + 1 492 -0.12885439 1.18465168 -7.382813 67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 983 KachelY + 1 492 -0.12578642 1.18465168 -7.207031 67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18580549-1.18465168) × R
    0.00115380999999992 × 6371000     		dl = 7350.9235099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18580549-1.18465168) × R
    0.00115380999999992 × 6371000     		dr = 7350.9235099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12578642) × cos(1.18580549) × R
    0.00306797 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 7340.52673979782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12578642) × cos(1.18465168) × R
    0.00306797 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 7361.42346746787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18580549)-sin(1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.376619747339496)×R²
    abs(-0.12578642--0.12885439)×0.00106910305188901×R²
    0.00306797×0.00106910305188901×6371000²
    0.00306797×0.00106910305188901×40589641000000     		ar = 54036461.7055041m²