Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 982 / 415
↖ ↑ ↗
← N 72.448791°
W  7.382813°		 ← 5 894.27 m → N 72.448791°
W  7.207031°		 →
↑
5 902.86 m
↓
↑
5 902.86 m
↓
N 72.395706°
W  7.382813°		 ← 5 911.53 m →
34 843 972 m²		 N 72.395706°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479736328125 y=0.202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479736328125 × 211)
    floor (0.479736328125 × 2048)
    floor (982.5)     		tx = 982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202880859375 × 211)
    floor (0.202880859375 × 2048)
    floor (415.5)     		ty = 415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 982 / 415 ti = "11/982/415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/982/415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 982 ÷ 211
    982 ÷ 2048     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 415 ÷ 211
    415 ÷ 2048     		y = 0.20263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20263671875 × 2 - 1) × π
    0.5947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86838859959131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86838859959131))-π/2
    2×atan(6.47784957508611)-π/2
    2×1.41763313927243-π/2
    2.83526627854486-1.57079632675     		φ = 1.26446995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26446995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.448791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 982 KachelY 415 -0.12885439 1.26446995 -7.382813 72.448791
    Oben rechts KachelX + 1 983 KachelY 415 -0.12578642 1.26446995 -7.207031 72.448791
    Unten links KachelX 982 KachelY + 1 416 -0.12885439 1.26354343 -7.382813 72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 983 KachelY + 1 416 -0.12578642 1.26354343 -7.207031 72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26446995-1.26354343) × R
    0.000926520000000153 × 6371000     		dl = 5902.85892000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26446995-1.26354343) × R
    0.000926520000000153 × 6371000     		dr = 5902.85892000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12578642) × cos(1.26446995) × R
    0.00306797 × 0.30155807115291 × 6371000     		do = 5894.26517720086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12578642) × cos(1.26354343) × R
    0.00306797 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 5911.52938833367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26446995)-sin(1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30155807115291-0.302441330058417)×R²
    abs(-0.12578642--0.12885439)×0.000883258905507445×R²
    0.00306797×0.000883258905507445×6371000²
    0.00306797×0.000883258905507445×40589641000000     		ar = 34843972.3720539m²