Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9819 / 7707
↖ ↑ ↗
← N 10.595821°
E 35.749512°		 ← 2 401.55 m → N 10.595821°
E 35.771484°		 →
↑
2 401.68 m
↓
↑
2 401.68 m
↓
N 10.574222°
E 35.749512°		 ← 2 401.72 m →
5 767 960 m²		 N 10.574222°
E 35.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599334716796875 y=0.470428466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599334716796875 × 214)
    floor (0.599334716796875 × 16384)
    floor (9819.5)     		tx = 9819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470428466796875 × 214)
    floor (0.470428466796875 × 16384)
    floor (7707.5)     		ty = 7707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9819 / 7707 ti = "14/9819/7707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9819/7707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9819 ÷ 214
    9819 ÷ 16384     		x = 0.59930419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7707 ÷ 214
    7707 ÷ 16384     		y = 0.47039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59930419921875 × 2 - 1) × π
    0.1986083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62394669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47039794921875 × 2 - 1) × π
    0.0592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.185995170525818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62394669} λ = 0.62394669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.185995170525818))-π/2
    2×atan(1.20441644366546)-π/2
    2×0.877864143652899-π/2
    1.7557282873058-1.57079632675     		φ = 0.18493196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62394669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.749512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18493196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.595821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9819 KachelY 7707 0.62394669 0.18493196 35.749512 10.595821
    Oben rechts KachelX + 1 9820 KachelY 7707 0.62433018 0.18493196 35.771484 10.595821
    Unten links KachelX 9819 KachelY + 1 7708 0.62394669 0.18455499 35.749512 10.574222
    Unten rechts KachelX + 1 9820 KachelY + 1 7708 0.62433018 0.18455499 35.771484 10.574222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18493196-0.18455499) × R
    0.000376970000000004 × 6371000     		dl = 2401.67587000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18493196-0.18455499) × R
    0.000376970000000004 × 6371000     		dr = 2401.67587000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62394669-0.62433018) × cos(0.18493196) × R
    0.000383489999999931 × 0.98294876407714 × 6371000     		do = 2401.55495820506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62394669-0.62433018) × cos(0.18455499) × R
    0.000383489999999931 × 0.983018011347067 × 6371000     		du = 2401.72414415911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18493196)-sin(0.18455499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98294876407714-0.983018011347067)×R²
    abs(0.62433018-0.62394669)×6.92472699269642e-05×R²
    0.000383489999999931×6.92472699269642e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.92472699269642e-05×40589641000000     		ar = 5767959.82681725m²