Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98185 / 101259
↖ ↑ ↗
← S 69.545079°
E 89.673157°		 ← 106.71 m → S 69.545079°
E 89.675903°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.546038°
E 89.673157°		 ← 106.71 m →
11 388 m²		 S 69.546038°
E 89.675903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749095916748047 y=0.772548675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749095916748047 × 217)
    floor (0.749095916748047 × 131072)
    floor (98185.5)     		tx = 98185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772548675537109 × 217)
    floor (0.772548675537109 × 131072)
    floor (101259.5)     		ty = 101259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98185 / 101259 ti = "17/98185/101259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98185/101259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98185 ÷ 217
    98185 ÷ 131072     		x = 0.749092102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101259 ÷ 217
    101259 ÷ 131072     		y = 0.772544860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749092102050781 × 2 - 1) × π
    0.498184204101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.56509184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772544860839844 × 2 - 1) × π
    -0.545089721679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.71244986512727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56509184} λ = 1.56509184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71244986512727))-π/2
    2×atan(0.18042323813981)-π/2
    2×0.178502863538073-π/2
    0.357005727076146-1.57079632675     		φ = -1.21379060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56509184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.673157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21379060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.545079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98185 KachelY 101259 1.56509184 -1.21379060 89.673157 -69.545079
    Oben rechts KachelX + 1 98186 KachelY 101259 1.56513977 -1.21379060 89.675903 -69.545079
    Unten links KachelX 98185 KachelY + 1 101260 1.56509184 -1.21380735 89.673157 -69.546038
    Unten rechts KachelX + 1 98186 KachelY + 1 101260 1.56513977 -1.21380735 89.675903 -69.546038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21379060--1.21380735) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21379060--1.21380735) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56509184-1.56513977) × cos(-1.21379060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349470327494231 × 6371000     		do = 106.714968628469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56509184-1.56513977) × cos(-1.21380735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349454633575723 × 6371000     		du = 106.710176301654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21379060)-sin(-1.21380735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349470327494231-0.349454633575723)×R²
    abs(1.56513977-1.56509184)×1.56939185081417e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56939185081417e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56939185081417e-05×40589641000000     		ar = 11387.7521363029m²