Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98184 / 101257
↖ ↑ ↗
← S 69.543159°
E 89.670410°		 ← 106.75 m → S 69.543159°
E 89.673157°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.544119°
E 89.670410°		 ← 106.74 m →
11 398 m²		 S 69.544119°
E 89.673157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749088287353516 y=0.772533416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749088287353516 × 217)
    floor (0.749088287353516 × 131072)
    floor (98184.5)     		tx = 98184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772533416748047 × 217)
    floor (0.772533416748047 × 131072)
    floor (101257.5)     		ty = 101257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98184 / 101257 ti = "17/98184/101257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98184/101257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98184 ÷ 217
    98184 ÷ 131072     		x = 0.74908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101257 ÷ 217
    101257 ÷ 131072     		y = 0.772529602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74908447265625 × 2 - 1) × π
    0.4981689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56504390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772529602050781 × 2 - 1) × π
    -0.545059204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71235399132803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56504390} λ = 1.56504390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71235399132803))-π/2
    2×atan(0.180440536830354)-π/2
    2×0.178519616814543-π/2
    0.357039233629087-1.57079632675     		φ = -1.21375709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56504390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21375709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.543159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98184 KachelY 101257 1.56504390 -1.21375709 89.670410 -69.543159
    Oben rechts KachelX + 1 98185 KachelY 101257 1.56509184 -1.21375709 89.673157 -69.543159
    Unten links KachelX 98184 KachelY + 1 101258 1.56504390 -1.21377385 89.670410 -69.544119
    Unten rechts KachelX + 1 98185 KachelY + 1 101258 1.56509184 -1.21377385 89.673157 -69.544119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21375709--1.21377385) × R
    1.6759999999838e-05 × 6371000     		dl = 106.777959998968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21375709--1.21377385) × R
    1.6759999999838e-05 × 6371000     		dr = 106.777959998968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56504390-1.56509184) × cos(-1.21375709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349501724406456 × 6371000     		do = 106.746822808048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56504390-1.56509184) × cos(-1.21377385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349486021314691 × 6371000     		du = 106.742026679625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21375709)-sin(-1.21377385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349501724406456-0.349486021314691)×R²
    abs(1.56509184-1.56504390)×1.57030917643519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57030917643519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57030917643519e-05×40589641000000     		ar = 11397.9519158342m²