Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98183 / 101254
↖ ↑ ↗
← S 69.540279°
E 89.667663°		 ← 106.76 m → S 69.540279°
E 89.670410°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.541239°
E 89.667663°		 ← 106.76 m →
11 393 m²		 S 69.541239°
E 89.670410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749080657958984 y=0.772510528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749080657958984 × 217)
    floor (0.749080657958984 × 131072)
    floor (98183.5)     		tx = 98183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772510528564453 × 217)
    floor (0.772510528564453 × 131072)
    floor (101254.5)     		ty = 101254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98183 / 101254 ti = "17/98183/101254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98183/101254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98183 ÷ 217
    98183 ÷ 131072     		x = 0.749076843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101254 ÷ 217
    101254 ÷ 131072     		y = 0.772506713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749076843261719 × 2 - 1) × π
    0.498153686523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.56499596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772506713867188 × 2 - 1) × π
    -0.545013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71221018062917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56499596} λ = 1.56499596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71221018062917))-π/2
    2×atan(0.180466487976039)-π/2
    2×0.178544749551111-π/2
    0.357089499102222-1.57079632675     		φ = -1.21370683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56499596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.667663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21370683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.540279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98183 KachelY 101254 1.56499596 -1.21370683 89.667663 -69.540279
    Oben rechts KachelX + 1 98184 KachelY 101254 1.56504390 -1.21370683 89.670410 -69.540279
    Unten links KachelX 98183 KachelY + 1 101255 1.56499596 -1.21372358 89.667663 -69.541239
    Unten rechts KachelX + 1 98184 KachelY + 1 101255 1.56504390 -1.21372358 89.670410 -69.541239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21370683--1.21372358) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21370683--1.21372358) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56499596-1.56504390) × cos(-1.21370683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		do = 106.761205290222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56499596-1.56504390) × cos(-1.21372358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349533120926218 × 6371000     		du = 106.75641211333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21370683)-sin(-1.21372358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349548814354324-0.349533120926218)×R²
    abs(1.56504390-1.56499596)×1.56934281056453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56934281056453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56934281056453e-05×40589641000000     		ar = 11392.6862016941m²