Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98178 / 101247
↖ ↑ ↗
← S 69.533558°
E 89.653931°		 ← 106.77 m → S 69.533558°
E 89.656677°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.534518°
E 89.653931°		 ← 106.77 m →
11 401 m²		 S 69.534518°
E 89.656677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749042510986328 y=0.772457122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749042510986328 × 217)
    floor (0.749042510986328 × 131072)
    floor (98178.5)     		tx = 98178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772457122802734 × 217)
    floor (0.772457122802734 × 131072)
    floor (101247.5)     		ty = 101247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98178 / 101247 ti = "17/98178/101247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98178/101247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98178 ÷ 217
    98178 ÷ 131072     		x = 0.749038696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101247 ÷ 217
    101247 ÷ 131072     		y = 0.772453308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749038696289062 × 2 - 1) × π
    0.498077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56475628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772453308105469 × 2 - 1) × π
    -0.544906616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.71187462233183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56475628} λ = 1.56475628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71187462233183))-π/2
    2×atan(0.180527055164815)-π/2
    2×0.178603405773831-π/2
    0.357206811547663-1.57079632675     		φ = -1.21358952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56475628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.653931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21358952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.533558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98178 KachelY 101247 1.56475628 -1.21358952 89.653931 -69.533558
    Oben rechts KachelX + 1 98179 KachelY 101247 1.56480421 -1.21358952 89.656677 -69.533558
    Unten links KachelX 98178 KachelY + 1 101248 1.56475628 -1.21360628 89.653931 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 98179 KachelY + 1 101248 1.56480421 -1.21360628 89.656677 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21358952--1.21360628) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21358952--1.21360628) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56475628-1.56480421) × cos(-1.21358952) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.349658721817478 × 6371000     		do = 106.772497100961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56475628-1.56480421) × cos(-1.21360628) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 106.767702272776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21358952)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349658721817478-0.349643019707478)×R²
    abs(1.56480421-1.56475628)×1.57021099999599e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.57021099999599e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.57021099999599e-05×40589641000000     		ar = 11400.6934339146m²