Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98176 / 104320
↖ ↑ ↗
← S 72.289067°
E 89.648437°		 ← 92.92 m → S 72.289067°
E 89.651184°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 72.289903°
E 89.648437°		 ← 92.91 m →
8 631 m²		 S 72.289903°
E 89.651184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749027252197266 y=0.795902252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749027252197266 × 217)
    floor (0.749027252197266 × 131072)
    floor (98176.5)     		tx = 98176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795902252197266 × 217)
    floor (0.795902252197266 × 131072)
    floor (104320.5)     		ty = 104320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98176 / 104320 ti = "17/98176/104320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98176/104320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98176 ÷ 217
    98176 ÷ 131072     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104320 ÷ 217
    104320 ÷ 131072     		y = 0.7958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7958984375 × 2 - 1) × π
    -0.591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85918471486426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85918471486426))-π/2
    2×atan(0.15579959970065)-π/2
    2×0.15455704548627-π/2
    0.30911409097254-1.57079632675     		φ = -1.26168224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26168224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.289067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98176 KachelY 104320 1.56466040 -1.26168224 89.648437 -72.289067
    Oben rechts KachelX + 1 98177 KachelY 104320 1.56470834 -1.26168224 89.651184 -72.289067
    Unten links KachelX 98176 KachelY + 1 104321 1.56466040 -1.26169682 89.648437 -72.289903
    Unten rechts KachelX + 1 98177 KachelY + 1 104321 1.56470834 -1.26169682 89.651184 -72.289903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26168224--1.26169682) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26168224--1.26169682) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56470834) × cos(-1.26168224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304214831957139 × 6371000     		do = 92.915040169424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56470834) × cos(-1.26169682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304200942966481 × 6371000     		du = 92.9107981141743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26168224)-sin(-1.26169682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304214831957139-0.304200942966481)×R²
    abs(1.56470834-1.56466040)×1.38889906584061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38889906584061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38889906584061e-05×40589641000000     		ar = 8630.60487060736m²