Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98174 / 103039
↖ ↑ ↗
← S 71.186868°
E 89.642944°		 ← 98.49 m → S 71.186868°
E 89.645691°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
S 71.187754°
E 89.642944°		 ← 98.49 m →
9 701 m²		 S 71.187754°
E 89.645691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749011993408203 y=0.786128997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749011993408203 × 217)
    floor (0.749011993408203 × 131072)
    floor (98174.5)     		tx = 98174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786128997802734 × 217)
    floor (0.786128997802734 × 131072)
    floor (103039.5)     		ty = 103039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98174 / 103039 ti = "17/98174/103039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98174/103039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98174 ÷ 217
    98174 ÷ 131072     		x = 0.749008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103039 ÷ 217
    103039 ÷ 131072     		y = 0.786125183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749008178710938 × 2 - 1) × π
    0.498016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56456453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786125183105469 × 2 - 1) × π
    -0.572250366210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79777754645097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56456453} λ = 1.56456453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79777754645097))-π/2
    2×atan(0.165666665855339)-π/2
    2×0.164175546154187-π/2
    0.328351092308375-1.57079632675     		φ = -1.24244523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56456453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.642944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24244523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.186868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98174 KachelY 103039 1.56456453 -1.24244523 89.642944 -71.186868
    Oben rechts KachelX + 1 98175 KachelY 103039 1.56461247 -1.24244523 89.645691 -71.186868
    Unten links KachelX 98174 KachelY + 1 103040 1.56456453 -1.24246069 89.642944 -71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 98175 KachelY + 1 103040 1.56461247 -1.24246069 89.645691 -71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24244523--1.24246069) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24244523--1.24246069) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56456453-1.56461247) × cos(-1.24244523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322482656332096 × 6371000     		do = 98.4945039473316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56456453-1.56461247) × cos(-1.24246069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 98.4900343184032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24244523)-sin(-1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322482656332096-0.322468022238295)×R²
    abs(1.56461247-1.56456453)×1.46340938012024e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46340938012024e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46340938012024e-05×40589641000000     		ar = 9701.06105343253m²