Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98169 / 101015
↖ ↑ ↗
← S 69.309588°
E 89.629212°		 ← 107.89 m → S 69.309588°
E 89.631958°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
S 69.310558°
E 89.629212°		 ← 107.89 m →
11 637 m²		 S 69.310558°
E 89.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748973846435547 y=0.770687103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748973846435547 × 217)
    floor (0.748973846435547 × 131072)
    floor (98169.5)     		tx = 98169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770687103271484 × 217)
    floor (0.770687103271484 × 131072)
    floor (101015.5)     		ty = 101015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98169 / 101015 ti = "17/98169/101015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98169/101015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98169 ÷ 217
    98169 ÷ 131072     		x = 0.748970031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101015 ÷ 217
    101015 ÷ 131072     		y = 0.770683288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748970031738281 × 2 - 1) × π
    0.497940063476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.56432485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770683288574219 × 2 - 1) × π
    -0.541366577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.70075326161997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56432485} λ = 1.56432485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70075326161997))-π/2
    2×atan(0.18254596738005)-π/2
    2×0.180557905872288-π/2
    0.361115811744577-1.57079632675     		φ = -1.20968052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56432485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.629212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20968052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.309588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98169 KachelY 101015 1.56432485 -1.20968052 89.629212 -69.309588
    Oben rechts KachelX + 1 98170 KachelY 101015 1.56437278 -1.20968052 89.631958 -69.309588
    Unten links KachelX 98169 KachelY + 1 101016 1.56432485 -1.20969745 89.629212 -69.310558
    Unten rechts KachelX + 1 98170 KachelY + 1 101016 1.56437278 -1.20969745 89.631958 -69.310558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20968052--1.20969745) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20968052--1.20969745) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56432485-1.56437278) × cos(-1.20968052) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353318293798523 × 6371000     		do = 107.88999143052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56432485-1.56437278) × cos(-1.20969745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353302455679201 × 6371000     		du = 107.885155070252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20968052)-sin(-1.20969745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353318293798523-0.353302455679201)×R²
    abs(1.56437278-1.56432485)×1.5838119321987e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5838119321987e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5838119321987e-05×40589641000000     		ar = 11636.8647750735m²