Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98148 / 101085
↖ ↑ ↗
← S 69.377411°
E 89.571533°		 ← 107.57 m → S 69.377411°
E 89.574280°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
S 69.378378°
E 89.571533°		 ← 107.57 m →
11 575 m²		 S 69.378378°
E 89.574280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748813629150391 y=0.771221160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748813629150391 × 217)
    floor (0.748813629150391 × 131072)
    floor (98148.5)     		tx = 98148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771221160888672 × 217)
    floor (0.771221160888672 × 131072)
    floor (101085.5)     		ty = 101085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98148 / 101085 ti = "17/98148/101085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98148/101085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98148 ÷ 217
    98148 ÷ 131072     		x = 0.748809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101085 ÷ 217
    101085 ÷ 131072     		y = 0.771217346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748809814453125 × 2 - 1) × π
    0.49761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56331817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771217346191406 × 2 - 1) × π
    -0.542434692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.70410884459338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56331817} λ = 1.56331817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70410884459338))-π/2
    2×atan(0.181934445819522)-π/2
    2×0.179966041042429-π/2
    0.359932082084857-1.57079632675     		φ = -1.21086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56331817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.377411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98148 KachelY 101085 1.56331817 -1.21086424 89.571533 -69.377411
    Oben rechts KachelX + 1 98149 KachelY 101085 1.56336611 -1.21086424 89.574280 -69.377411
    Unten links KachelX 98148 KachelY + 1 101086 1.56331817 -1.21088113 89.571533 -69.378378
    Unten rechts KachelX + 1 98149 KachelY + 1 101086 1.56336611 -1.21088113 89.574280 -69.378378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21086424--1.21088113) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dl = 107.606189999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21086424--1.21088113) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dr = 107.606189999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56331817-1.56336611) × cos(-1.21086424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352210672709817 × 6371000     		do = 107.574205348223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56331817-1.56336611) × cos(-1.21088113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352194864958186 × 6371000     		du = 107.569377253984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21086424)-sin(-1.21088113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352210672709817-0.352194864958186)×R²
    abs(1.56336611-1.56331817)×1.58077516301813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58077516301813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58077516301813e-05×40589641000000     		ar = 11575.3906135072m²