Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98147 / 101097
↖ ↑ ↗
← S 69.389016°
E 89.568786°		 ← 107.52 m → S 69.389016°
E 89.571533°		 →
↑
107.48 m
↓
↑
107.48 m
↓
S 69.389983°
E 89.568786°		 ← 107.51 m →
11 555 m²		 S 69.389983°
E 89.571533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748805999755859 y=0.771312713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748805999755859 × 217)
    floor (0.748805999755859 × 131072)
    floor (98147.5)     		tx = 98147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771312713623047 × 217)
    floor (0.771312713623047 × 131072)
    floor (101097.5)     		ty = 101097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98147 / 101097 ti = "17/98147/101097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98147/101097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98147 ÷ 217
    98147 ÷ 131072     		x = 0.748802185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101097 ÷ 217
    101097 ÷ 131072     		y = 0.771308898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748802185058594 × 2 - 1) × π
    0.497604370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.56327023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771308898925781 × 2 - 1) × π
    -0.542617797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.70468408738882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56327023} λ = 1.56327023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70468408738882))-π/2
    2×atan(0.181829819435993)-π/2
    2×0.179864764983446-π/2
    0.359729529966891-1.57079632675     		φ = -1.21106680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56327023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.568786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21106680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.389016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98147 KachelY 101097 1.56327023 -1.21106680 89.568786 -69.389016
    Oben rechts KachelX + 1 98148 KachelY 101097 1.56331817 -1.21106680 89.571533 -69.389016
    Unten links KachelX 98147 KachelY + 1 101098 1.56327023 -1.21108367 89.568786 -69.389983
    Unten rechts KachelX + 1 98148 KachelY + 1 101098 1.56331817 -1.21108367 89.571533 -69.389983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21106680--1.21108367) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dl = 107.478770000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21106680--1.21108367) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dr = 107.478770000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56327023-1.56331817) × cos(-1.21106680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352021085379186 × 6371000     		do = 107.516300497471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56327023-1.56331817) × cos(-1.21108367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352005295142871 × 6371000     		du = 107.511477752859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21106680)-sin(-1.21108367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352021085379186-0.352005295142871)×R²
    abs(1.56331817-1.56327023)×1.57902363153717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57902363153717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57902363153717e-05×40589641000000     		ar = 11555.4605613524m²