Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98147 / 101083
↖ ↑ ↗
← S 69.375476°
E 89.568786°		 ← 107.58 m → S 69.375476°
E 89.571533°		 →
↑
107.54 m
↓
↑
107.54 m
↓
S 69.376443°
E 89.568786°		 ← 107.58 m →
11 570 m²		 S 69.376443°
E 89.571533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748805999755859 y=0.771205902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748805999755859 × 217)
    floor (0.748805999755859 × 131072)
    floor (98147.5)     		tx = 98147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771205902099609 × 217)
    floor (0.771205902099609 × 131072)
    floor (101083.5)     		ty = 101083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98147 / 101083 ti = "17/98147/101083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98147/101083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98147 ÷ 217
    98147 ÷ 131072     		x = 0.748802185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101083 ÷ 217
    101083 ÷ 131072     		y = 0.771202087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748802185058594 × 2 - 1) × π
    0.497604370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.56327023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771202087402344 × 2 - 1) × π
    -0.542404174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.70401297079414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56327023} λ = 1.56327023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70401297079414))-π/2
    2×atan(0.181951889402233)-π/2
    2×0.179982925687398-π/2
    0.359965851374795-1.57079632675     		φ = -1.21083048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56327023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.568786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21083048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.375476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98147 KachelY 101083 1.56327023 -1.21083048 89.568786 -69.375476
    Oben rechts KachelX + 1 98148 KachelY 101083 1.56331817 -1.21083048 89.571533 -69.375476
    Unten links KachelX 98147 KachelY + 1 101084 1.56327023 -1.21084736 89.568786 -69.376443
    Unten rechts KachelX + 1 98148 KachelY + 1 101084 1.56331817 -1.21084736 89.571533 -69.376443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21083048--1.21084736) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dl = 107.54247999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21083048--1.21084736) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dr = 107.54247999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56327023-1.56331817) × cos(-1.21083048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352242269193468 × 6371000     		do = 107.583855727624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56327023-1.56331817) × cos(-1.21084736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352226471001823 × 6371000     		du = 107.57903055325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21083048)-sin(-1.21084736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352242269193468-0.352226471001823)×R²
    abs(1.56331817-1.56327023)×1.57981916449335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57981916449335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57981916449335e-05×40589641000000     		ar = 11569.575197617m²