Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98146 / 101098
↖ ↑ ↗
← S 69.389983°
E 89.566040°		 ← 107.49 m → S 69.389983°
E 89.568786°		 →
↑
107.48 m
↓
↑
107.48 m
↓
S 69.390950°
E 89.566040°		 ← 107.48 m →
11 553 m²		 S 69.390950°
E 89.568786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748798370361328 y=0.771320343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748798370361328 × 217)
    floor (0.748798370361328 × 131072)
    floor (98146.5)     		tx = 98146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771320343017578 × 217)
    floor (0.771320343017578 × 131072)
    floor (101098.5)     		ty = 101098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98146 / 101098 ti = "17/98146/101098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98146/101098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98146 ÷ 217
    98146 ÷ 131072     		x = 0.748794555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101098 ÷ 217
    101098 ÷ 131072     		y = 0.771316528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748794555664062 × 2 - 1) × π
    0.497589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56322230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771316528320312 × 2 - 1) × π
    -0.542633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70473202428844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56322230} λ = 1.56322230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70473202428844))-π/2
    2×atan(0.181821103287105)-π/2
    2×0.179856327772942-π/2
    0.359712655545884-1.57079632675     		φ = -1.21108367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56322230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.566040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21108367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.389983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98146 KachelY 101098 1.56322230 -1.21108367 89.566040 -69.389983
    Oben rechts KachelX + 1 98147 KachelY 101098 1.56327023 -1.21108367 89.568786 -69.389983
    Unten links KachelX 98146 KachelY + 1 101099 1.56322230 -1.21110054 89.566040 -69.390950
    Unten rechts KachelX + 1 98147 KachelY + 1 101099 1.56327023 -1.21110054 89.568786 -69.390950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21108367--1.21110054) × R
    1.68699999998356e-05 × 6371000     		dl = 107.478769998953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21108367--1.21110054) × R
    1.68699999998356e-05 × 6371000     		dr = 107.478769998953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56322230-1.56327023) × cos(-1.21108367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352005295142871 × 6371000     		do = 107.489051495642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56322230-1.56327023) × cos(-1.21110054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351989504806376 × 6371000     		du = 107.484229726436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21108367)-sin(-1.21110054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352005295142871-0.351989504806376)×R²
    abs(1.56327023-1.56322230)×1.57903364947365e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57903364947365e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57903364947365e-05×40589641000000     		ar = 11552.5319245563m²