Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98144 / 102688
↖ ↑ ↗
← S 70.873492°
E 89.560547°		 ← 100.07 m → S 70.873492°
E 89.563293°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
S 70.874391°
E 89.560547°		 ← 100.07 m →
10 010 m²		 S 70.874391°
E 89.563293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748783111572266 y=0.783451080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748783111572266 × 217)
    floor (0.748783111572266 × 131072)
    floor (98144.5)     		tx = 98144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783451080322266 × 217)
    floor (0.783451080322266 × 131072)
    floor (102688.5)     		ty = 102688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98144 / 102688 ti = "17/98144/102688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98144/102688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98144 ÷ 217
    98144 ÷ 131072     		x = 0.748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102688 ÷ 217
    102688 ÷ 131072     		y = 0.783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748779296875 × 2 - 1) × π
    0.49755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56312642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.56689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78095169468433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56312642} λ = 1.56312642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78095169468433))-π/2
    2×atan(0.168477731585749)-π/2
    2×0.166910275453404-π/2
    0.333820550906807-1.57079632675     		φ = -1.23697578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56312642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23697578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.873492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98144 KachelY 102688 1.56312642 -1.23697578 89.560547 -70.873492
    Oben rechts KachelX + 1 98145 KachelY 102688 1.56317436 -1.23697578 89.563293 -70.873492
    Unten links KachelX 98144 KachelY + 1 102689 1.56312642 -1.23699148 89.560547 -70.874391
    Unten rechts KachelX + 1 98145 KachelY + 1 102689 1.56317436 -1.23699148 89.563293 -70.874391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23697578--1.23699148) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dl = 100.024699998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23697578--1.23699148) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dr = 100.024699998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56312642-1.56317436) × cos(-1.23697578) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.32765505368854 × 6371000     		do = 100.07428723796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56312642-1.56317436) × cos(-1.23699148) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.327640220328657 × 6371000     		du = 100.069756748041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23697578)-sin(-1.23699148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32765505368854-0.327640220328657)×R²
    abs(1.56317436-1.56312642)×1.48333598830597e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.48333598830597e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.48333598830597e-05×40589641000000     		ar = 10009.6739783428m²