Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98144 / 101024
↖ ↑ ↗
← S 69.318320°
E 89.560547°		 ← 107.87 m → S 69.318320°
E 89.563293°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
S 69.319290°
E 89.560547°		 ← 107.86 m →
11 635 m²		 S 69.319290°
E 89.563293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748783111572266 y=0.770755767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748783111572266 × 217)
    floor (0.748783111572266 × 131072)
    floor (98144.5)     		tx = 98144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770755767822266 × 217)
    floor (0.770755767822266 × 131072)
    floor (101024.5)     		ty = 101024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98144 / 101024 ti = "17/98144/101024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98144/101024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98144 ÷ 217
    98144 ÷ 131072     		x = 0.748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101024 ÷ 217
    101024 ÷ 131072     		y = 0.770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748779296875 × 2 - 1) × π
    0.49755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56312642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56312642} λ = 1.56312642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70118469371655))-π/2
    2×atan(0.182467228177152)-π/2
    2×0.180481704824096-π/2
    0.360963409648192-1.57079632675     		φ = -1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56312642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98144 KachelY 101024 1.56312642 -1.20983292 89.560547 -69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 98145 KachelY 101024 1.56317436 -1.20983292 89.563293 -69.318320
    Unten links KachelX 98144 KachelY + 1 101025 1.56312642 -1.20984985 89.560547 -69.319290
    Unten rechts KachelX + 1 98145 KachelY + 1 101025 1.56317436 -1.20984985 89.563293 -69.319290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20983292--1.20984985) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20983292--1.20984985) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56312642-1.56317436) × cos(-1.20983292) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 107.868955329929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56312642-1.56317436) × cos(-1.20984985) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353159879982021 × 6371000     		du = 107.864117682249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20983292)-sin(-1.20984985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.353159879982021)×R²
    abs(1.56317436-1.56312642)×1.58390307254397e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58390307254397e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58390307254397e-05×40589641000000     		ar = 11634.5957304028m²