Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98143 / 101088
↖ ↑ ↗
← S 69.380313°
E 89.557801°		 ← 107.54 m → S 69.380313°
E 89.560547°		 →
↑
107.54 m
↓
↑
107.54 m
↓
S 69.381280°
E 89.557801°		 ← 107.53 m →
11 565 m²		 S 69.381280°
E 89.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748775482177734 y=0.771244049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748775482177734 × 217)
    floor (0.748775482177734 × 131072)
    floor (98143.5)     		tx = 98143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771244049072266 × 217)
    floor (0.771244049072266 × 131072)
    floor (101088.5)     		ty = 101088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98143 / 101088 ti = "17/98143/101088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98143/101088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98143 ÷ 217
    98143 ÷ 131072     		x = 0.748771667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101088 ÷ 217
    101088 ÷ 131072     		y = 0.771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748771667480469 × 2 - 1) × π
    0.497543334960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.56307849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70425265529224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56307849} λ = 1.56307849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70425265529224))-π/2
    2×atan(0.181908283580972)-π/2
    2×0.179940716915556-π/2
    0.359881433831112-1.57079632675     		φ = -1.21091489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56307849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.557801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21091489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.380313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98143 KachelY 101088 1.56307849 -1.21091489 89.557801 -69.380313
    Oben rechts KachelX + 1 98144 KachelY 101088 1.56312642 -1.21091489 89.560547 -69.380313
    Unten links KachelX 98143 KachelY + 1 101089 1.56307849 -1.21093177 89.557801 -69.381280
    Unten rechts KachelX + 1 98144 KachelY + 1 101089 1.56312642 -1.21093177 89.560547 -69.381280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21091489--1.21093177) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dl = 107.54247999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21091489--1.21093177) × R
    1.68799999999969e-05 × 6371000     		dr = 107.54247999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56307849-1.56312642) × cos(-1.21091489) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.352163267872288 × 6371000     		do = 107.537290368483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56307849-1.56312642) × cos(-1.21093177) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.352147469178822 × 6371000     		du = 107.532466047375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21091489)-sin(-1.21093177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352163267872288-0.352147469178822)×R²
    abs(1.56312642-1.56307849)×1.57986934665733e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.57986934665733e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.57986934665733e-05×40589641000000     		ar = 11564.5674893746m²