Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98131 / 101199
↖ ↑ ↗
← S 69.487410°
E 89.524841°		 ← 107.03 m → S 69.487410°
E 89.527588°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.488372°
E 89.524841°		 ← 107.02 m →
11 455 m²		 S 69.488372°
E 89.527588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748683929443359 y=0.772090911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748683929443359 × 217)
    floor (0.748683929443359 × 131072)
    floor (98131.5)     		tx = 98131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772090911865234 × 217)
    floor (0.772090911865234 × 131072)
    floor (101199.5)     		ty = 101199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98131 / 101199 ti = "17/98131/101199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98131/101199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98131 ÷ 217
    98131 ÷ 131072     		x = 0.748680114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101199 ÷ 217
    101199 ÷ 131072     		y = 0.772087097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748680114746094 × 2 - 1) × π
    0.497360229492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.56250324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772087097167969 × 2 - 1) × π
    -0.544174194335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.70957365115006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56250324} λ = 1.56250324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70957365115006))-π/2
    2×atan(0.180942920980424)-π/2
    2×0.179006116968464-π/2
    0.358012233936929-1.57079632675     		φ = -1.21278409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56250324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.524841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21278409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.487410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98131 KachelY 101199 1.56250324 -1.21278409 89.524841 -69.487410
    Oben rechts KachelX + 1 98132 KachelY 101199 1.56255118 -1.21278409 89.527588 -69.487410
    Unten links KachelX 98131 KachelY + 1 101200 1.56250324 -1.21280089 89.524841 -69.488372
    Unten rechts KachelX + 1 98132 KachelY + 1 101200 1.56255118 -1.21280089 89.527588 -69.488372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21278409--1.21280089) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21278409--1.21280089) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56250324-1.56255118) × cos(-1.21278409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35041319727711 × 6371000     		do = 107.025210084057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56250324-1.56255118) × cos(-1.21280089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350397462428099 × 6371000     		du = 107.020404256154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21278409)-sin(-1.21280089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35041319727711-0.350397462428099)×R²
    abs(1.56255118-1.56250324)×1.57348490115172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57348490115172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57348490115172e-05×40589641000000     		ar = 11454.9507154461m²