Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98131 / 101013
↖ ↑ ↗
← S 69.307647°
E 89.524841°		 ← 107.92 m → S 69.307647°
E 89.527588°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
S 69.308618°
E 89.524841°		 ← 107.92 m →
11 647 m²		 S 69.308618°
E 89.527588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748683929443359 y=0.770671844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748683929443359 × 217)
    floor (0.748683929443359 × 131072)
    floor (98131.5)     		tx = 98131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770671844482422 × 217)
    floor (0.770671844482422 × 131072)
    floor (101013.5)     		ty = 101013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98131 / 101013 ti = "17/98131/101013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98131/101013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98131 ÷ 217
    98131 ÷ 131072     		x = 0.748680114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101013 ÷ 217
    101013 ÷ 131072     		y = 0.770668029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748680114746094 × 2 - 1) × π
    0.497360229492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.56250324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770668029785156 × 2 - 1) × π
    -0.541336059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.70065738782073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56250324} λ = 1.56250324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70065738782073))-π/2
    2×atan(0.182563469594467)-π/2
    2×0.180574843615655-π/2
    0.361149687231309-1.57079632675     		φ = -1.20964664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56250324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.524841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20964664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.307647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98131 KachelY 101013 1.56250324 -1.20964664 89.524841 -69.307647
    Oben rechts KachelX + 1 98132 KachelY 101013 1.56255118 -1.20964664 89.527588 -69.307647
    Unten links KachelX 98131 KachelY + 1 101014 1.56250324 -1.20966358 89.524841 -69.308618
    Unten rechts KachelX + 1 98132 KachelY + 1 101014 1.56255118 -1.20966358 89.527588 -69.308618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20964664--1.20966358) × R
    1.69399999998543e-05 × 6371000     		dl = 107.924739999072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20964664--1.20966358) × R
    1.69399999998543e-05 × 6371000     		dr = 107.924739999072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56250324-1.56255118) × cos(-1.20964664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353349988443177 × 6371000     		do = 107.922181699178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56250324-1.56255118) × cos(-1.20966358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353334141171547 × 6371000     		du = 107.917341534514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20964664)-sin(-1.20966358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353349988443177-0.353334141171547)×R²
    abs(1.56255118-1.56250324)×1.58472716298985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58472716298985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58472716298985e-05×40589641000000     		ar = 11647.21221365m²