Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98129 / 101107
↖ ↑ ↗
← S 69.398683°
E 89.519348°		 ← 107.47 m → S 69.398683°
E 89.522095°		 →
↑
107.42 m
↓
↑
107.42 m
↓
S 69.399649°
E 89.519348°		 ← 107.46 m →
11 543 m²		 S 69.399649°
E 89.522095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748668670654297 y=0.771389007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748668670654297 × 217)
    floor (0.748668670654297 × 131072)
    floor (98129.5)     		tx = 98129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771389007568359 × 217)
    floor (0.771389007568359 × 131072)
    floor (101107.5)     		ty = 101107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98129 / 101107 ti = "17/98129/101107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98129/101107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98129 ÷ 217
    98129 ÷ 131072     		x = 0.748664855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101107 ÷ 217
    101107 ÷ 131072     		y = 0.771385192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748664855957031 × 2 - 1) × π
    0.497329711914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.56240737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771385192871094 × 2 - 1) × π
    -0.542770385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.70516345638502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56240737} λ = 1.56240737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70516345638502))-π/2
    2×atan(0.181742676746391)-π/2
    2×0.179780409911832-π/2
    0.359560819823663-1.57079632675     		φ = -1.21123551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56240737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.519348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21123551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.398683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98129 KachelY 101107 1.56240737 -1.21123551 89.519348 -69.398683
    Oben rechts KachelX + 1 98130 KachelY 101107 1.56245531 -1.21123551 89.522095 -69.398683
    Unten links KachelX 98129 KachelY + 1 101108 1.56240737 -1.21125237 89.519348 -69.399649
    Unten rechts KachelX + 1 98130 KachelY + 1 101108 1.56245531 -1.21125237 89.522095 -69.399649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21123551--1.21125237) × R
    1.68599999998964e-05 × 6371000     		dl = 107.41505999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21123551--1.21125237) × R
    1.68599999998964e-05 × 6371000     		dr = 107.41505999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56240737-1.56245531) × cos(-1.21123551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351863169147975 × 6371000     		do = 107.468068815695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56240737-1.56245531) × cos(-1.21125237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351847387270581 × 6371000     		du = 107.463248624113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21123551)-sin(-1.21125237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351863169147975-0.351847387270581)×R²
    abs(1.56245531-1.56240737)×1.57818773947049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57818773947049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57818773947049e-05×40589641000000     		ar = 11543.4301794843m²