Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98129 / 101009
↖ ↑ ↗
← S 69.303765°
E 89.519348°		 ← 107.94 m → S 69.303765°
E 89.522095°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
S 69.304735°
E 89.519348°		 ← 107.94 m →
11 649 m²		 S 69.304735°
E 89.522095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748668670654297 y=0.770641326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748668670654297 × 217)
    floor (0.748668670654297 × 131072)
    floor (98129.5)     		tx = 98129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770641326904297 × 217)
    floor (0.770641326904297 × 131072)
    floor (101009.5)     		ty = 101009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98129 / 101009 ti = "17/98129/101009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98129/101009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98129 ÷ 217
    98129 ÷ 131072     		x = 0.748664855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101009 ÷ 217
    101009 ÷ 131072     		y = 0.770637512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748664855957031 × 2 - 1) × π
    0.497329711914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.56240737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770637512207031 × 2 - 1) × π
    -0.541275024414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.70046564022225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56240737} λ = 1.56240737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70046564022225))-π/2
    2×atan(0.182598479057715)-π/2
    2×0.180608723660101-π/2
    0.361217447320202-1.57079632675     		φ = -1.20957888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56240737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.519348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20957888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.303765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98129 KachelY 101009 1.56240737 -1.20957888 89.519348 -69.303765
    Oben rechts KachelX + 1 98130 KachelY 101009 1.56245531 -1.20957888 89.522095 -69.303765
    Unten links KachelX 98129 KachelY + 1 101010 1.56240737 -1.20959582 89.519348 -69.304735
    Unten rechts KachelX + 1 98130 KachelY + 1 101010 1.56245531 -1.20959582 89.522095 -69.304735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20957888--1.20959582) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dl = 107.924740000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20957888--1.20959582) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dr = 107.924740000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56240737-1.56245531) × cos(-1.20957888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353413376515666 × 6371000     		do = 107.941542048125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56240737-1.56245531) × cos(-1.20959582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353397529649658 × 6371000     		du = 107.936702007348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20957888)-sin(-1.20959582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353413376515666-0.353397529649658)×R²
    abs(1.56245531-1.56240737)×1.58468660084732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58468660084732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58468660084732e-05×40589641000000     		ar = 11649.3016811792m²