Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98128 / 101198
↖ ↑ ↗
← S 69.486447°
E 89.516601°		 ← 107.03 m → S 69.486447°
E 89.519348°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.487410°
E 89.516601°		 ← 107.03 m →
11 455 m²		 S 69.487410°
E 89.519348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748661041259766 y=0.772083282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748661041259766 × 217)
    floor (0.748661041259766 × 131072)
    floor (98128.5)     		tx = 98128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772083282470703 × 217)
    floor (0.772083282470703 × 131072)
    floor (101198.5)     		ty = 101198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98128 / 101198 ti = "17/98128/101198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98128/101198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98128 ÷ 217
    98128 ÷ 131072     		x = 0.7486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101198 ÷ 217
    101198 ÷ 131072     		y = 0.772079467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    0.497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56235943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772079467773438 × 2 - 1) × π
    -0.544158935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70952571425044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56235943} λ = 1.56235943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70952571425044))-π/2
    2×atan(0.180951595030965)-π/2
    2×0.179014516018078-π/2
    0.358029032036156-1.57079632675     		φ = -1.21276729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56235943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.516601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21276729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.486447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98128 KachelY 101198 1.56235943 -1.21276729 89.516601 -69.486447
    Oben rechts KachelX + 1 98129 KachelY 101198 1.56240737 -1.21276729 89.519348 -69.486447
    Unten links KachelX 98128 KachelY + 1 101199 1.56235943 -1.21278409 89.516601 -69.487410
    Unten rechts KachelX + 1 98129 KachelY + 1 101199 1.56240737 -1.21278409 89.519348 -69.487410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21276729--1.21278409) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21276729--1.21278409) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56235943-1.56240737) × cos(-1.21276729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350428932027221 × 6371000     		do = 107.030015881754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56235943-1.56240737) × cos(-1.21278409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35041319727711 × 6371000     		du = 107.025210084057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21276729)-sin(-1.21278409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350428932027221-0.35041319727711)×R²
    abs(1.56240737-1.56235943)×1.57347501108518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57347501108518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57347501108518e-05×40589641000000     		ar = 11455.4650953103m²