Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98114 / 102725
↖ ↑ ↗
← S 70.906761°
E 89.478150°		 ← 99.89 m → S 70.906761°
E 89.480896°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
S 70.907659°
E 89.478150°		 ← 99.88 m →
9 978 m²		 S 70.907659°
E 89.480896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748554229736328 y=0.783733367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748554229736328 × 217)
    floor (0.748554229736328 × 131072)
    floor (98114.5)     		tx = 98114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783733367919922 × 217)
    floor (0.783733367919922 × 131072)
    floor (102725.5)     		ty = 102725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98114 / 102725 ti = "17/98114/102725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98114/102725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98114 ÷ 217
    98114 ÷ 131072     		x = 0.748550415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102725 ÷ 217
    102725 ÷ 131072     		y = 0.783729553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748550415039062 × 2 - 1) × π
    0.497100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56168832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783729553222656 × 2 - 1) × π
    -0.567459106445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.78272535997027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56168832} λ = 1.56168832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78272535997027))-π/2
    2×atan(0.168179173331257)-π/2
    2×0.166619943599429-π/2
    0.333239887198857-1.57079632675     		φ = -1.23755644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56168832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.478150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23755644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.906761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98114 KachelY 102725 1.56168832 -1.23755644 89.478150 -70.906761
    Oben rechts KachelX + 1 98115 KachelY 102725 1.56173625 -1.23755644 89.480896 -70.906761
    Unten links KachelX 98114 KachelY + 1 102726 1.56168832 -1.23757212 89.478150 -70.907659
    Unten rechts KachelX + 1 98115 KachelY + 1 102726 1.56173625 -1.23757212 89.480896 -70.907659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23755644--1.23757212) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23755644--1.23757212) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56168832-1.56173625) × cos(-1.23755644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327106392412102 × 6371000     		do = 99.8858720129972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56168832-1.56173625) × cos(-1.23757212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327091574967618 × 6371000     		du = 99.8813473280702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23755644)-sin(-1.23757212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327106392412102-0.327091574967618)×R²
    abs(1.56173625-1.56168832)×1.48174444837834e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48174444837834e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48174444837834e-05×40589641000000     		ar = 9978.10092292552m²