Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98111 / 101187
↖ ↑ ↗
← S 69.475858°
E 89.469910°		 ← 107.06 m → S 69.475858°
E 89.472656°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.476820°
E 89.469910°		 ← 107.06 m →
11 459 m²		 S 69.476820°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748531341552734 y=0.771999359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748531341552734 × 217)
    floor (0.748531341552734 × 131072)
    floor (98111.5)     		tx = 98111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771999359130859 × 217)
    floor (0.771999359130859 × 131072)
    floor (101187.5)     		ty = 101187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98111 / 101187 ti = "17/98111/101187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98111/101187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98111 ÷ 217
    98111 ÷ 131072     		x = 0.748527526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101187 ÷ 217
    101187 ÷ 131072     		y = 0.771995544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748527526855469 × 2 - 1) × π
    0.497055053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.56154451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771995544433594 × 2 - 1) × π
    -0.543991088867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.70899840835462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56154451} λ = 1.56154451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70899840835462))-π/2
    2×atan(0.181047037035238)-π/2
    2×0.179106930455777-π/2
    0.358213860911554-1.57079632675     		φ = -1.21258247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56154451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.469910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21258247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.475858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98111 KachelY 101187 1.56154451 -1.21258247 89.469910 -69.475858
    Oben rechts KachelX + 1 98112 KachelY 101187 1.56159244 -1.21258247 89.472656 -69.475858
    Unten links KachelX 98111 KachelY + 1 101188 1.56154451 -1.21259927 89.469910 -69.476820
    Unten rechts KachelX + 1 98112 KachelY + 1 101188 1.56159244 -1.21259927 89.472656 -69.476820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21258247--1.21259927) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21258247--1.21259927) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56154451-1.56159244) × cos(-1.21258247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35060202648022 × 6371000     		do = 107.060546528179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56154451-1.56159244) × cos(-1.21259927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350586292818427 × 6371000     		du = 107.055742065275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21258247)-sin(-1.21259927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35060202648022-0.350586292818427)×R²
    abs(1.56159244-1.56154451)×1.57336617929715e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57336617929715e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57336617929715e-05×40589641000000     		ar = 11458.7329471059m²