Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98108 / 101177
↖ ↑ ↗
← S 69.466226°
E 89.461670°		 ← 107.13 m → S 69.466226°
E 89.464416°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
S 69.467189°
E 89.461670°		 ← 107.13 m →
11 473 m²		 S 69.467189°
E 89.464416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748508453369141 y=0.771923065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748508453369141 × 217)
    floor (0.748508453369141 × 131072)
    floor (98108.5)     		tx = 98108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771923065185547 × 217)
    floor (0.771923065185547 × 131072)
    floor (101177.5)     		ty = 101177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98108 / 101177 ti = "17/98108/101177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98108/101177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98108 ÷ 217
    98108 ÷ 131072     		x = 0.748504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101177 ÷ 217
    101177 ÷ 131072     		y = 0.771919250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748504638671875 × 2 - 1) × π
    0.49700927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56140069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771919250488281 × 2 - 1) × π
    -0.543838500976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.70851903935842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56140069} λ = 1.56140069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70851903935842))-π/2
    2×atan(0.18113384617679)-π/2
    2×0.179190983192996-π/2
    0.358381966385993-1.57079632675     		φ = -1.21241436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56140069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.461670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21241436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.466226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98108 KachelY 101177 1.56140069 -1.21241436 89.461670 -69.466226
    Oben rechts KachelX + 1 98109 KachelY 101177 1.56144863 -1.21241436 89.464416 -69.466226
    Unten links KachelX 98108 KachelY + 1 101178 1.56140069 -1.21243117 89.461670 -69.467189
    Unten rechts KachelX + 1 98109 KachelY + 1 101178 1.56144863 -1.21243117 89.464416 -69.467189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21241436--1.21243117) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dl = 107.096509999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21241436--1.21243117) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dr = 107.096509999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56140069-1.56144863) × cos(-1.21241436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35075946066617 × 6371000     		do = 107.130967835896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56140069-1.56144863) × cos(-1.21243117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35074371863005 × 6371000     		du = 107.126159812864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21241436)-sin(-1.21243117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35075946066617-0.35074371863005)×R²
    abs(1.56144863-1.56140069)×1.57420361207583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57420361207583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57420361207583e-05×40589641000000     		ar = 11473.0953070948m²