Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98104 / 101189
↖ ↑ ↗
← S 69.477784°
E 89.450684°		 ← 107.05 m → S 69.477784°
E 89.453430°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.478746°
E 89.450684°		 ← 107.05 m →
11 458 m²		 S 69.478746°
E 89.453430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748477935791016 y=0.772014617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748477935791016 × 217)
    floor (0.748477935791016 × 131072)
    floor (98104.5)     		tx = 98104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772014617919922 × 217)
    floor (0.772014617919922 × 131072)
    floor (101189.5)     		ty = 101189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98104 / 101189 ti = "17/98104/101189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98104/101189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98104 ÷ 217
    98104 ÷ 131072     		x = 0.74847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101189 ÷ 217
    101189 ÷ 131072     		y = 0.772010803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74847412109375 × 2 - 1) × π
    0.4969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56120895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772010803222656 × 2 - 1) × π
    -0.544021606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.70909428215386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56120895} λ = 1.56120895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70909428215386))-π/2
    2×atan(0.181029680200002)-π/2
    2×0.179090124435948-π/2
    0.358180248871895-1.57079632675     		φ = -1.21261608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56120895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.450684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21261608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.477784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98104 KachelY 101189 1.56120895 -1.21261608 89.450684 -69.477784
    Oben rechts KachelX + 1 98105 KachelY 101189 1.56125688 -1.21261608 89.453430 -69.477784
    Unten links KachelX 98104 KachelY + 1 101190 1.56120895 -1.21263288 89.450684 -69.478746
    Unten rechts KachelX + 1 98105 KachelY + 1 101190 1.56125688 -1.21263288 89.453430 -69.478746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21261608--1.21263288) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21261608--1.21263288) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56120895-1.56125688) × cos(-1.21261608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350570549692321 × 6371000     		do = 107.050934712329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56120895-1.56125688) × cos(-1.21263288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350554815832575 × 6371000     		du = 107.046130188977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21261608)-sin(-1.21263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350570549692321-0.350554815832575)×R²
    abs(1.56125688-1.56120895)×1.57338597463474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57338597463474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57338597463474e-05×40589641000000     		ar = 11457.704164166m²