Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98100 / 102419
↖ ↑ ↗
← S 70.629930°
E 89.439697°		 ← 101.30 m → S 70.629930°
E 89.442444°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.630840°
E 89.439697°		 ← 101.30 m →
10 255 m²		 S 70.630840°
E 89.442444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748447418212891 y=0.781398773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748447418212891 × 217)
    floor (0.748447418212891 × 131072)
    floor (98100.5)     		tx = 98100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781398773193359 × 217)
    floor (0.781398773193359 × 131072)
    floor (102419.5)     		ty = 102419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98100 / 102419 ti = "17/98100/102419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98100/102419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98100 ÷ 217
    98100 ÷ 131072     		x = 0.748443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102419 ÷ 217
    102419 ÷ 131072     		y = 0.781394958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748443603515625 × 2 - 1) × π
    0.49688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56101720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781394958496094 × 2 - 1) × π
    -0.562789916992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.76805666868653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56101720} λ = 1.56101720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76805666868653))-π/2
    2×atan(0.170664324099142)-π/2
    2×0.169035750593627-π/2
    0.338071501187253-1.57079632675     		φ = -1.23272483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56101720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.439697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23272483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.629930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98100 KachelY 102419 1.56101720 -1.23272483 89.439697 -70.629930
    Oben rechts KachelX + 1 98101 KachelY 102419 1.56106514 -1.23272483 89.442444 -70.629930
    Unten links KachelX 98100 KachelY + 1 102420 1.56101720 -1.23274072 89.439697 -70.630840
    Unten rechts KachelX + 1 98101 KachelY + 1 102420 1.56106514 -1.23274072 89.442444 -70.630840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23272483--1.23274072) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23272483--1.23274072) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56101720-1.56106514) × cos(-1.23272483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331668367733843 × 6371000     		do = 101.300056649635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56101720-1.56106514) × cos(-1.23274072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331653377128849 × 6371000     		du = 101.295478133011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23272483)-sin(-1.23274072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331668367733843-0.331653377128849)×R²
    abs(1.56106514-1.56101720)×1.49906049936033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49906049936033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49906049936033e-05×40589641000000     		ar = 10254.8987286704m²