Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 981 / 485
↖ ↑ ↗
← N 68.334376°
W  7.558594°		 ← 7 216.16 m → N 68.334376°
W  7.382813°		 →
↑
7 226.43 m
↓
↑
7 226.43 m
↓
N 68.269387°
W  7.558594°		 ← 7 236.76 m →
52 221 563 m²		 N 68.269387°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479248046875 y=0.237060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479248046875 × 211)
    floor (0.479248046875 × 2048)
    floor (981.5)     		tx = 981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237060546875 × 211)
    floor (0.237060546875 × 2048)
    floor (485.5)     		ty = 485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 981 / 485 ti = "11/981/485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/981/485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 981 ÷ 211
    981 ÷ 2048     		x = 0.47900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 485 ÷ 211
    485 ÷ 2048     		y = 0.23681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23681640625 × 2 - 1) × π
    0.5263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65363128929346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13192235} λ = -0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65363128929346))-π/2
    2×atan(5.22592224916964)-π/2
    2×1.38172808962421-π/2
    2.76345617924841-1.57079632675     		φ = 1.19265985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19265985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.334376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 981 KachelY 485 -0.13192235 1.19265985 -7.558594 68.334376
    Oben rechts KachelX + 1 982 KachelY 485 -0.12885439 1.19265985 -7.382813 68.334376
    Unten links KachelX 981 KachelY + 1 486 -0.13192235 1.19152558 -7.558594 68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 982 KachelY + 1 486 -0.12885439 1.19152558 -7.382813 68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19265985-1.19152558) × R
    0.0011342700000001 × 6371000     		dl = 7226.43417000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19265985-1.19152558) × R
    0.0011342700000001 × 6371000     		dr = 7226.43417000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13192235--0.12885439) × cos(1.19265985) × R
    0.00306795999999998 × 0.369189238265422 × 6371000     		do = 7216.16294209674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13192235--0.12885439) × cos(1.19152558) × R
    0.00306795999999998 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 7236.76246111378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19265985)-sin(1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369189238265422-0.370243139181402)×R²
    abs(-0.12885439--0.13192235)×0.00105390091597957×R²
    0.00306795999999998×0.00105390091597957×6371000²
    0.00306795999999998×0.00105390091597957×40589641000000     		ar = 52221562.5939998m²