Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 981 / 1202
↖ ↑ ↗
← S 29.840644°
W  7.558594°		 ← 16.954 km → S 29.840644°
W  7.382813°		 →
↑
16.941 km
↓
↑
16.941 km
↓
S 29.993002°
W  7.558594°		 ← 16.929 km →
287.013 km²		 S 29.993002°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479248046875 y=0.587158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479248046875 × 211)
    floor (0.479248046875 × 2048)
    floor (981.5)     		tx = 981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587158203125 × 211)
    floor (0.587158203125 × 2048)
    floor (1202.5)     		ty = 1202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 981 / 1202 ti = "11/981/1202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/981/1202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 981 ÷ 211
    981 ÷ 2048     		x = 0.47900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1202 ÷ 211
    1202 ÷ 2048     		y = 0.5869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13192235} λ = -0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54609716047168))-π/2
    2×atan(0.57920595272323)-π/2
    2×0.524989419920582-π/2
    1.04997883984116-1.57079632675     		φ = -0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 981 KachelY 1202 -0.13192235 -0.52081749 -7.558594 -29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 982 KachelY 1202 -0.12885439 -0.52081749 -7.382813 -29.840644
    Unten links KachelX 981 KachelY + 1 1203 -0.13192235 -0.52347664 -7.558594 -29.993002
    Unten rechts KachelX + 1 982 KachelY + 1 1203 -0.12885439 -0.52347664 -7.382813 -29.993002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52081749--0.52347664) × R
    0.00265915000000005 × 6371000     		dl = 16941.4446500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52081749--0.52347664) × R
    0.00265915000000005 × 6371000     		dr = 16941.4446500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13192235--0.12885439) × cos(-0.52081749) × R
    0.00306795999999998 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 16954.4252590541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13192235--0.12885439) × cos(-0.52347664) × R
    0.00306795999999998 × 0.866086465124141 × 6371000     		du = 16928.5028015556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52081749)-sin(-0.52347664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.866086465124141)×R²
    abs(-0.12885439--0.13192235)×0.00132623007748578×R²
    0.00306795999999998×0.00132623007748578×6371000²
    0.00306795999999998×0.00132623007748578×40589641000000     		ar = 287013044.283721m²