Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98099 / 101172
↖ ↑ ↗
← S 69.461408°
E 89.436951°		 ← 107.16 m → S 69.461408°
E 89.439697°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
S 69.462372°
E 89.436951°		 ← 107.15 m →
11 482 m²		 S 69.462372°
E 89.439697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748439788818359 y=0.771884918212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748439788818359 × 217)
    floor (0.748439788818359 × 131072)
    floor (98099.5)     		tx = 98099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771884918212891 × 217)
    floor (0.771884918212891 × 131072)
    floor (101172.5)     		ty = 101172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98099 / 101172 ti = "17/98099/101172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98099/101172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98099 ÷ 217
    98099 ÷ 131072     		x = 0.748435974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101172 ÷ 217
    101172 ÷ 131072     		y = 0.771881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748435974121094 × 2 - 1) × π
    0.496871948242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.56096926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.54376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70827935486032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56096926} λ = 1.56096926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70827935486032))-π/2
    2×atan(0.181177266355163)-π/2
    2×0.179233023713496-π/2
    0.358466047426991-1.57079632675     		φ = -1.21233028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56096926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.436951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21233028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.461408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98099 KachelY 101172 1.56096926 -1.21233028 89.436951 -69.461408
    Oben rechts KachelX + 1 98100 KachelY 101172 1.56101720 -1.21233028 89.439697 -69.461408
    Unten links KachelX 98099 KachelY + 1 101173 1.56096926 -1.21234710 89.436951 -69.462372
    Unten rechts KachelX + 1 98100 KachelY + 1 101173 1.56101720 -1.21234710 89.439697 -69.462372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21233028--1.21234710) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21233028--1.21234710) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56096926-1.56101720) × cos(-1.21233028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350838197453025 × 6371000     		do = 107.155016077286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56096926-1.56101720) × cos(-1.21234710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350822446548287 × 6371000     		du = 107.150205345551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21233028)-sin(-1.21234710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350838197453025-0.350822446548287)×R²
    abs(1.56101720-1.56096926)×1.57509047379878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57509047379878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57509047379878e-05×40589641000000     		ar = 11482.4973376202m²