Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98098 / 102423
↖ ↑ ↗
← S 70.633574°
E 89.434204°		 ← 101.26 m → S 70.633574°
E 89.436951°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.634484°
E 89.434204°		 ← 101.26 m →
10 251 m²		 S 70.634484°
E 89.436951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748432159423828 y=0.781429290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748432159423828 × 217)
    floor (0.748432159423828 × 131072)
    floor (98098.5)     		tx = 98098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781429290771484 × 217)
    floor (0.781429290771484 × 131072)
    floor (102423.5)     		ty = 102423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98098 / 102423 ti = "17/98098/102423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98098/102423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98098 ÷ 217
    98098 ÷ 131072     		x = 0.748428344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102423 ÷ 217
    102423 ÷ 131072     		y = 0.781425476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748428344726562 × 2 - 1) × π
    0.496856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56092133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781425476074219 × 2 - 1) × π
    -0.562850952148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.76824841628501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56092133} λ = 1.56092133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76824841628501))-π/2
    2×atan(0.170631602762069)-π/2
    2×0.169003955162635-π/2
    0.33800791032527-1.57079632675     		φ = -1.23278842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56092133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.434204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23278842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.633574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98098 KachelY 102423 1.56092133 -1.23278842 89.434204 -70.633574
    Oben rechts KachelX + 1 98099 KachelY 102423 1.56096926 -1.23278842 89.436951 -70.633574
    Unten links KachelX 98098 KachelY + 1 102424 1.56092133 -1.23280431 89.434204 -70.634484
    Unten rechts KachelX + 1 98099 KachelY + 1 102424 1.56096926 -1.23280431 89.436951 -70.634484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23278842--1.23280431) × R
    1.58899999997963e-05 × 6371000     		dl = 101.235189998703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23278842--1.23280431) × R
    1.58899999997963e-05 × 6371000     		dr = 101.235189998703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56092133-1.56096926) × cos(-1.23278842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33160837650893 × 6371000     		do = 101.260607015833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56092133-1.56096926) × cos(-1.23280431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331593385568842 × 6371000     		du = 101.256029351936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23278842)-sin(-1.23280431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33160837650893-0.331593385568842)×R²
    abs(1.56096926-1.56092133)×1.49909400881665e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49909400881665e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49909400881665e-05×40589641000000     		ar = 10250.9050804052m²