Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98096 / 101195
↖ ↑ ↗
← S 69.483560°
E 89.428711°		 ← 107.04 m → S 69.483560°
E 89.431458°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.484523°
E 89.428711°		 ← 107.04 m →
11 457 m²		 S 69.484523°
E 89.431458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748416900634766 y=0.772060394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748416900634766 × 217)
    floor (0.748416900634766 × 131072)
    floor (98096.5)     		tx = 98096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772060394287109 × 217)
    floor (0.772060394287109 × 131072)
    floor (101195.5)     		ty = 101195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98096 / 101195 ti = "17/98096/101195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98096/101195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98096 ÷ 217
    98096 ÷ 131072     		x = 0.7484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101195 ÷ 217
    101195 ÷ 131072     		y = 0.772056579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7484130859375 × 2 - 1) × π
    0.496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56082545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772056579589844 × 2 - 1) × π
    -0.544113159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.70938190355158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56082545} λ = 1.56082545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70938190355158))-π/2
    2×atan(0.180977619677573)-π/2
    2×0.179039715429591-π/2
    0.358079430859181-1.57079632675     		φ = -1.21271690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56082545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21271690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.483560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98096 KachelY 101195 1.56082545 -1.21271690 89.428711 -69.483560
    Oben rechts KachelX + 1 98097 KachelY 101195 1.56087339 -1.21271690 89.431458 -69.483560
    Unten links KachelX 98096 KachelY + 1 101196 1.56082545 -1.21273370 89.428711 -69.484523
    Unten rechts KachelX + 1 98097 KachelY + 1 101196 1.56087339 -1.21273370 89.431458 -69.484523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21271690--1.21273370) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21271690--1.21273370) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56082545-1.56087339) × cos(-1.21271690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350476126318389 × 6371000     		do = 107.044430233057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56082545-1.56087339) × cos(-1.21273370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350460391864948 × 6371000     		du = 107.039624525971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21271690)-sin(-1.21273370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350476126318389-0.350460391864948)×R²
    abs(1.56087339-1.56082545)×1.5734453441274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5734453441274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5734453441274e-05×40589641000000     		ar = 11457.0079084746m²