Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98093 / 102413
↖ ↑ ↗
← S 70.624463°
E 89.420471°		 ← 101.33 m → S 70.624463°
E 89.423218°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 70.625374°
E 89.420471°		 ← 101.32 m →
10 264 m²		 S 70.625374°
E 89.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748394012451172 y=0.781352996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748394012451172 × 217)
    floor (0.748394012451172 × 131072)
    floor (98093.5)     		tx = 98093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781352996826172 × 217)
    floor (0.781352996826172 × 131072)
    floor (102413.5)     		ty = 102413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98093 / 102413 ti = "17/98093/102413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98093/102413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98093 ÷ 217
    98093 ÷ 131072     		x = 0.748390197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102413 ÷ 217
    102413 ÷ 131072     		y = 0.781349182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748390197753906 × 2 - 1) × π
    0.496780395507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.56068164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781349182128906 × 2 - 1) × π
    -0.562698364257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.76776904728881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56068164} λ = 1.56068164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76776904728881))-π/2
    2×atan(0.170713417870451)-π/2
    2×0.169083454525625-π/2
    0.338166909051249-1.57079632675     		φ = -1.23262942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56068164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.420471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23262942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.624463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98093 KachelY 102413 1.56068164 -1.23262942 89.420471 -70.624463
    Oben rechts KachelX + 1 98094 KachelY 102413 1.56072958 -1.23262942 89.423218 -70.624463
    Unten links KachelX 98093 KachelY + 1 102414 1.56068164 -1.23264532 89.420471 -70.625374
    Unten rechts KachelX + 1 98094 KachelY + 1 102414 1.56072958 -1.23264532 89.423218 -70.625374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23262942--1.23264532) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23262942--1.23264532) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56068164-1.56072958) × cos(-1.23262942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331758375640564 × 6371000     		do = 101.327547381151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56068164-1.56072958) × cos(-1.23264532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331743376104761 × 6371000     		du = 101.322966136829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23262942)-sin(-1.23264532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331758375640564-0.331743376104761)×R²
    abs(1.56072958-1.56068164)×1.49995358025845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49995358025845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49995358025845e-05×40589641000000     		ar = 10264.1370522215m²