Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98092 / 101220
↖ ↑ ↗
← S 69.507612°
E 89.417724°		 ← 106.92 m → S 69.507612°
E 89.420471°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.508573°
E 89.417724°		 ← 106.92 m →
11 431 m²		 S 69.508573°
E 89.420471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748386383056641 y=0.772251129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748386383056641 × 217)
    floor (0.748386383056641 × 131072)
    floor (98092.5)     		tx = 98092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772251129150391 × 217)
    floor (0.772251129150391 × 131072)
    floor (101220.5)     		ty = 101220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98092 / 101220 ti = "17/98092/101220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98092/101220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98092 ÷ 217
    98092 ÷ 131072     		x = 0.748382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101220 ÷ 217
    101220 ÷ 131072     		y = 0.772247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748382568359375 × 2 - 1) × π
    0.49676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56063370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.54449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71058032604208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56063370} λ = 1.56063370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71058032604208))-π/2
    2×atan(0.180760861937492)-π/2
    2×0.178829824011393-π/2
    0.357659648022787-1.57079632675     		φ = -1.21313668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56063370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.417724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21313668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.507612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98092 KachelY 101220 1.56063370 -1.21313668 89.417724 -69.507612
    Oben rechts KachelX + 1 98093 KachelY 101220 1.56068164 -1.21313668 89.420471 -69.507612
    Unten links KachelX 98092 KachelY + 1 101221 1.56063370 -1.21315346 89.417724 -69.508573
    Unten rechts KachelX + 1 98093 KachelY + 1 101221 1.56068164 -1.21315346 89.420471 -69.508573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21313668--1.21315346) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21313668--1.21315346) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56063370-1.56068164) × cos(-1.21313668) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.350082941396514 × 6371000     		do = 106.924341437832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56063370-1.56068164) × cos(-1.21315346) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.350067223207343 × 6371000     		du = 106.919540698273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21313668)-sin(-1.21315346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350082941396514-0.350067223207343)×R²
    abs(1.56068164-1.56063370)×1.57181891717872e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.57181891717872e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.57181891717872e-05×40589641000000     		ar = 11430.5307403181m²