Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98091 / 102429
↖ ↑ ↗
← S 70.639037°
E 89.414978°		 ← 101.23 m → S 70.639037°
E 89.417724°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.639948°
E 89.414978°		 ← 101.23 m →
10 248 m²		 S 70.639948°
E 89.417724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748378753662109 y=0.781475067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748378753662109 × 217)
    floor (0.748378753662109 × 131072)
    floor (98091.5)     		tx = 98091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781475067138672 × 217)
    floor (0.781475067138672 × 131072)
    floor (102429.5)     		ty = 102429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98091 / 102429 ti = "17/98091/102429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98091/102429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98091 ÷ 217
    98091 ÷ 131072     		x = 0.748374938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102429 ÷ 217
    102429 ÷ 131072     		y = 0.781471252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748374938964844 × 2 - 1) × π
    0.496749877929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.56058577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781471252441406 × 2 - 1) × π
    -0.562942504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.76853603768273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56058577} λ = 1.56058577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76853603768273))-π/2
    2×atan(0.170582532519151)-π/2
    2×0.168956272799379-π/2
    0.337912545598759-1.57079632675     		φ = -1.23288378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56058577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.414978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23288378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.639037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98091 KachelY 102429 1.56058577 -1.23288378 89.414978 -70.639037
    Oben rechts KachelX + 1 98092 KachelY 102429 1.56063370 -1.23288378 89.417724 -70.639037
    Unten links KachelX 98091 KachelY + 1 102430 1.56058577 -1.23289967 89.414978 -70.639948
    Unten rechts KachelX + 1 98092 KachelY + 1 102430 1.56063370 -1.23289967 89.417724 -70.639948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23288378--1.23289967) × R
    1.58899999997963e-05 × 6371000     		dl = 101.235189998703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23288378--1.23289967) × R
    1.58899999997963e-05 × 6371000     		dr = 101.235189998703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56058577-1.56063370) × cos(-1.23288378) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.33151841074363 × 6371000     		do = 101.233134886642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56058577-1.56063370) × cos(-1.23289967) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.331503419301145 × 6371000     		du = 101.228557069332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23288378)-sin(-1.23289967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33151841074363-0.331503419301145)×R²
    abs(1.56063370-1.56058577)×1.49914424850128e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.49914424850128e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.49914424850128e-05×40589641000000     		ar = 10248.1239263752m²