Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98088 / 101143
↖ ↑ ↗
← S 69.433446°
E 89.406738°		 ← 107.27 m → S 69.433446°
E 89.409485°		 →
↑
107.29 m
↓
↑
107.29 m
↓
S 69.434411°
E 89.406738°		 ← 107.27 m →
11 509 m²		 S 69.434411°
E 89.409485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748355865478516 y=0.771663665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748355865478516 × 217)
    floor (0.748355865478516 × 131072)
    floor (98088.5)     		tx = 98088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771663665771484 × 217)
    floor (0.771663665771484 × 131072)
    floor (101143.5)     		ty = 101143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98088 / 101143 ti = "17/98088/101143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98088/101143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98088 ÷ 217
    98088 ÷ 131072     		x = 0.74835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101143 ÷ 217
    101143 ÷ 131072     		y = 0.771659851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74835205078125 × 2 - 1) × π
    0.4967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56044196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771659851074219 × 2 - 1) × π
    -0.543319702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.70688918477134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56044196} λ = 1.56044196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70688918477134))-π/2
    2×atan(0.181429308721943)-π/2
    2×0.179477044887901-π/2
    0.358954089775801-1.57079632675     		φ = -1.21184224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56044196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21184224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.433446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98088 KachelY 101143 1.56044196 -1.21184224 89.406738 -69.433446
    Oben rechts KachelX + 1 98089 KachelY 101143 1.56048989 -1.21184224 89.409485 -69.433446
    Unten links KachelX 98088 KachelY + 1 101144 1.56044196 -1.21185908 89.406738 -69.434411
    Unten rechts KachelX + 1 98089 KachelY + 1 101144 1.56048989 -1.21185908 89.409485 -69.434411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21184224--1.21185908) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dl = 107.287640000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21184224--1.21185908) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dr = 107.287640000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56044196-1.56048989) × cos(-1.21184224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351295173924621 × 6371000     		do = 107.272207438891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56044196-1.56048989) × cos(-1.21185908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351279407176253 × 6371000     		du = 107.267392872603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21184224)-sin(-1.21185908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351295173924621-0.351279407176253)×R²
    abs(1.56048989-1.56044196)×1.57667483684509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57667483684509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57667483684509e-05×40589641000000     		ar = 11508.7237023021m²